Zoran Skoda uređaj

Parcijalni uređaj (ili samo uređaj) $\leq$ na skupu $S$ binarna relacija koja je

• tranzitivna, tj. $A\leq B$ i $B\leq C$ implicira $A\leq C$

• refleksivna, tj. $A\leq A$ za svaki $A\in S$

• antisimetrična, tj. iz $A\leq B$ i $B\leq A$ slijedi $A = B$

gdje su $A,B,C$ bilo koji elementi u $S$.

Uređaj je linearan ili totalan ako su svaka dva elementa usporediva, tj. vrijedi $A\leq B$ ili $B\leq A$ za svaka dva elementa $A$ i $B$. Neki udžbenici kažu uređaj misleći na linearni uređaj.

Ako je $\leq_1$ uređaj i $\leq_2$ dva uređaja tada kažemo da su oni suprotni ako $A\leq_1 B\equiv B\leq_2 A$ za svaki par točaka $A,B\in S$. Ako se uređaj označava s $\leq$, tada obično suprotni uređaj označavamo s $\geq$.

Ponekad govorimo i o relacijama strogog uređaja, a uobičajena oznaka je $\lt$. To je binarna relacija koja je tranzitivna, antisimetrična i

• antirefleksivna tj. NI ZA JEDAN $A$ ne vrijedi $A\lt A$

Naravno iz antirefleksivnosti i antisimetrije slijedi da ne može biti istovremeno $A\lt B$ i $B\lt A$.

Svaka relacija uređaja $\leq$ definira jedinstvenu relaciju strogog uređaja $\lt$ sa

• $A\lt B$ akko $A\leq B$ i $A\neq B$.

Obratno, svaka relacija strogog uređaja definira pripadnu relaciju uređaja $\leq$ sa

• $A\leq B$ akko $A\lt B$ ili $A=B$.

Tako dobivamo bijekciju svih uređaja i svih strogih uređaja na istom skupu, pa slobodno možemo koristiti obje, a da smo definirali samo jednu (ako je naravno notacija jasna za obje).

category: zadarmat1, zadarmat2, zadarmat4