Zoran Skoda mat4-250221

Osnovna stranica zadarmat4. Prošlo predavanje mat4-240221, slijedeće će biti mat4-030321. Vidi također grupa, monoid, wikipedia/group(mathematics).

Grupa $(G,\cdot)$ je Abelova ili komutativna ako je njena binarna operacija komutativna tj. za svaka dva elementa g,h in G

$$g \bullet h = h \bullet g$$

Abel (wikipedia) je bio značajan norveški matematičar u 19. stoljeću, živio samo 27 godina.

Signatura algebarske strukture mi govori koliko je zadano algebarskih operacija i koje su njihove arnosti (nularna, unarna, binarna, ternarna itd. tj koliko argumenata ima svaka od njih).

Prsten je algebarska struktura arnosti 2,2 tj. ima dvije binarne operacije, s nekim svojstvima (obje su asocijativne s neutralnim elementom, s obzirom na prvu je Abelova grupa, i druga je distributivna u odnosu na prvu) $(R,+,\cdot,0,1)$ arnost 2,2,0,0

$a \cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c$

$(b+c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a$

Binarne algebarske strukture (= magme)

ako vrijedi asocijativnost onda je polugrupa

ako je polugrupa i ima obostrani neutralni element onda je monoid

ako je monoid i svaki element ima obostrani inverz onda je grupa

ako je grupa i množenje je komutativno, onda je Abelova grupa

ako je monoid i operacija je komutativna onda je komutativan monoid

isto tako komutativna polugrupa

Jednostavni primjeri polugrupa:

skup prirodnih brojeva s obzirom na zbrajanje $(\mathbf{N},+)$

isto s obzirom na množenje $(\mathbf{N},\cdot)$

skup svih (formalnih) riječi sastavljenih od danog alfabeta a,b,c… (to je neki skup simbola, “slova”)

aac, bzf6rdzfg, oihuc, uzgzg

aac $\cdot$ vzug = aacvzug operacija spajanja riječi!

ova operacija NIJE komutativna!

vzug $\cdot$ aac = vzugaac nije isto što i aacvzug

ali jest asocijativna!!!!

(aac $\cdot$ vzug) $\cdot$ ftr = aacvzug $\cdot$ ftr = aacvzugftr

aac $\cdot$ (vzug $\cdot$ftr) = aac $\cdot$ vzugftr = aacvzugftr

polugrupe riječi

MONOID RIJEČI – ovdje dozvoljavamo praznu riječ

kod tog monoida uvodimo konvenciju da svaku riječ stavimo u zagradu, tako da je “vidimo”

() prazna riječ

konkatencija (spajanje) znači izbriaši kad spajaš i zagrade između

(aac) $\cdot$ (vzug) = (aacvzug)

(aac) $\cdot$ () = (aac)

znači () je (obostrani) neutralni element

Skup prirodnih brojeva je monoid s obzirom na množenje

$(N,\cdot)$ je neutralni element 1 $(N,\cdot,1)$

ali (N,+) to nije monoid jer nula nije prirodan broj (ali jest polugrupa!)

(N,-) je parcijalna binarna algebarska struktura, nije niti magma jer oduzimanje nije uvijek defirano (nije zatvoren s obzirom na oduzimanje), nego je definirano samo za neke parove a-b, po definiciji to kažemo da je a veće od b (samo kad oduzimamo od većeg broja manji)

$$D = \{ (m,n) \in\mathbf{N}\times\mathbf{N} | \exists k \in \mathbf{N}, \,\,k+n = m \}\subset \mathbf{N}\times\mathbf{N}$$

$- : D \to \mathbf{N}$

$(\mathbf{N}_0,+)$ je monoid

$(\mathbf{Z},+)$ je Abelova grupa, ako je $m\in\mathbf{Z}$ onda je $-m$ inverz s obzirom na zbrajanje. Inverz u Abelovoj grupi u kojoj je operacija označena aditivno, a neutralni element s nekom varijantom nule, zovemo suprotni element.

$(\mathbf{Z},\cdot)$ je monoid, nije grupa jer recimo 2 nema inverz, a niti nula nema inverz

$(\mathbf{Q},\cdot)$ je isto monoid, svi elementi imaju inverz osim jadne nule!

$(\mathbf{Q},+,\cdot)$ je prsten i to komutativni (množenje je komutativno) i to čak polje (uza sve to, svaki element osim nule ima obostrani inverz s obzirom na množenje)

Grupe najčešće opisuju simetrije

Grupe permutacija!

Permutacija je bijekcija sa skupa na samog sebe, dakle preslikavanje $S\to S$ koje je istovremeno injekcija i surjekcija. Skup permutacija na fiksnom skupu $S$ s obzirom na kompoziciju je grupa. Najprije, kompozicija $g\circ f$ je definirana kad god je kodomena od $f$ isto što i domena od $g$ i kako je ovdje jedna te ista i domena i kodomena za sve permutacije, to je za permutacija na tom skupu uvijek definirana kompozicija. Dakle zatvorenost binarne operacije je zadovoljena.

Bijekcije $f : S \to S$

Skup permutacija ima neutralni element s obyirom na kompoziciju, $id : S \to S$ je permutacija i vrijedi

$$id \circ f = f = f \circ id$$

Za svaki $f\in S$ postoji inverzna funkcija $f^-$ ili $f^{-1}$ koja je inverz s obzirom na operaciju kompozicije permutacija,

$$f^{-1} \circ f = id = f\circ f^{-1}$$

category: zadarmat4