Zoran Skoda grupa

Aksiomi grupe

Grupa je binarna algebarska struktura $(G,\cdot)$ u kojoj operacija $\cdot$ zadovoljava slijedeća svojstva

• (asocijativnost) $g\cdot (h\cdot k) = (g\cdot h)\cdot k$ za sve $g,h,k\in G$

• (neutralni element) Postoji element $e$ koji je neutralan s obzirom a operaciju grupe slijeva i zdesna: $e\cdot g = g = g\cdot e$ (takav element je jedinstven, vidi monoid)

• (obostrani inverz) Za svaki element $g\in G$ postoji element $h$ koji je istovremeno i lijevi inverz od $g$ (tj. $h\cdot g = e$) i desni inverz od $g$ (tj. vrijedi $g\cdot h = e$).

Drugim riječima, grupa je monoid čiji svaki element ima obostrani inverz.

U svakom monoidu, ako je $h$ desni inverz od $g$, onda je $g$ lijevi inverz od $h$ i obratno. Dakle, svaki element u monoidu je desni inverz vlastitom lijevom inverzu (kad god on postoji). U svakom monoidu obostrani inverz nekog elementa, ako postoji, je jedinstven. Svaki element $g$ u grupi je dakle taj jedinstveni inverz vlastitom (obostranom) inverzu, $(g^{-1})^{-1}=g$.

Binarna algebarska struktura koja je asocijativna naziva se polugrupom. Monoid je polugrupa s neutralnim elementom. Dakle, grupa je monoid u kojoj svaki element ima obostrani inverz.

Ako je $G$ grupa i $g\in G$ tada postoji točno jedan obostrani inverz od $g$, pa ga možemo označavati s $g^{-1}$.

Jedinstvenost obostranog inverza slijedi iz slijedeće propozicije.

Propozicija. Ako u monoidu neki element $g$ ima lijevi inverz $h$ i desni inverz $k$ onda su oni jednaki.

Dokaz. Poseban slučaj asocijativnosti je jednakost

$$(h\cdot g)\cdot k = h\cdot (g\cdot k)$$

Koristeći pretpostavku $h\cdot g = e = g\cdot k$ i svojstvo neutralnog elementa $e$ dobivamo dakle

$$k = e\cdot k = (h\cdot g)\cdot k = h\cdot (g\cdot k) = h\cdot e = h.$$

Dakle $k = h$ kako se i tražilo.

Kad imamo desni inverz $k$ tada dakle svaka dva lijeva inverza moraju biti jednaki njemu, pa su i međusobno jednaki. Kad imamo lijevi inverz tada svaka dva desna inverza moraju biti jednaki tom lijevom pa su i međusobno jednaki. Ako imamo i lijevi i desni inverz tada je to jedan te isti element (i pri tom jedinstven koji je obostrani inverz).

Grupa je Abelova ili komutativna ako je njena binarna operacija komutativna.

Svaka Abelova grupa ima svojstvo stalnosti razlike: ako umanjeniku i umanjitelju dodamo jedan te isti element, razlika se neće promijeniti,

$$a - b = (a + c) - (b + c)$$

Slično vrijedi i stalnost zbroja: ako u zbroju jednom sumandu pribrojimo, a drugom sumandu oduzmemo jedan te isti element, zbroj se neće promijeniti.

$$a + b = (a + c) + (b - c)$$

Svojstva stalnosti zbroja i razlike su korisna u praktičnom računanju, uključujući u dječjoj aritmetici. Na primjer, $799 + 801 = 800 + 800 = 1600$, gdje je jednakost u drugom koraku lakša za uočiti.

Homomorfizmi

Ako su $(G,\cdot)$, $(H,\circ)$ dvije polugrupe, tada za preslikavanje skupova $f:G\to H$ kažemo da je homomorfizam polugrupa ako za svaka dva elementa $a,b\in G$, $f(a\cdot b) = f(a)\circ f(b)$. Primijetimo da na lijevoj strani pomnožimo u $G$ i onda evaluiramo preslikavanje na rezultatu, a na desnoj strani najprije evaluiramo preslikavanje na oba elementa i pomnožimo dobivene vrijednosti u $H$. Taj aksiom intuitivno opisujemo riječima “homomorfizam polugrupa čuva operaciju na polugrupi”.

Iz tog aksioma u grupi slijedi da ako je $e\in G$ neutralni element za $\cdot$, tada je $f(e)$ neutralni element za $\circ$, drugim riječima svaki homomorfizam polugrupa iz grupe u grupu “čuva neutralni element”. Zaista, $e\cdot a = a$ za sve $a\in G$. Dakle,

$$f(e)\circ f(a) = f(e\cdot a) = f(a).$$

Sjetimo se da inverzni element $f(a)^{-1}$ od $f(a)$ postoji u $H$ i pomnožimo gornji identitet $f(e)\circ f(a) = f(a)$ izrazom $f(a)^{-1}\circ h$ zdesna, gdje je $h$ ma koji element u $H$, i dobit ćemo $f(e)\circ h = f(e)\circ f(a)\circ f(a)^{-1}\circ h = h$ za sve $h\in H$, dakle $f(e)$ je neutralni element u $(H,\circ)$. Kod monoida nemamo nužno inverze pa taj dokaz ne prolazi, tj. homomorfizam polugrupa iz monoida u monoid ne mora nužno čuvati neutralni element. Zato definiramo homomorfizam monoida kao preslikavanje monoida koji je homomorfizam polugrupa i šalje neutralni element u neutralni element. Homomorfizam grupa je preslikavanje grupa koje je homomorfizam polugrupa, dakle prema malo prije rečenom, automatski i morfizam monoida. Dapače, homomorfizam grupa ima svojstvo da šalje inverzne elemente u inverzne elemente. Zaista, $f(a^{-1})\circ f(a) = f(a^{-1}\cdot a) = f(e)$ i $f(a)\circ f(a^{-1}) = f(a\cdot a^{-1}) = f(e)$. Kako je $f(e)$ neutralni element, ti identiteti govore da je $f(a^{-1})$ obostrani inverz od $f(a)$.

Homomorfizam polugrupa, monoida ili grupa je izomorfizam tih struktura ako je bijekcija, tj. postoji inverzno preslikavanje.

Propozicija. Ako je $f:(G,\cdot)\to(H,\cdot')$ izomorfizam grupa, tada je i inverzno preslikavanje $f^{-1}:H\to G$ izomorfizam grupa.

Dokaz. Inverz bijekcije je bijekcija. Treba još provjeriti da za inverzno preslikavanje vrijedi $f^{-1}(k)\cdot f^{-1}(h) = f^{-1}(k\cdot' h)$ za sve $h,k\in H$. Kad ne bi bilo postojao bi neki par $k,h$ za koji to ne vrijedi. Tada $k\cdot' h = f(f^{-1}(k))\cdot'f(f^{-1}(h)) = f(f^{-1}(h)\cdot f^{-1}(k))$ jer je $f$ homomorfizam. S druge strane, $k\cot' h = f(f^{-1}(k\cdot'h))$, dakle $f(f^{-1}(h)\cdot f^{-1}(k))= f(f^{-1}(k\cdot'h))$. Na taj identitet primijenimo $f^{-1}$ i dobit ćemo $f^{-1}(k)\cdot f^{-1}(h) = f^{-1}(k\cdot' h)$.

Podgrupe, susjedne klase, kvocijentni skup, kvocijentna grupa

Podskup $H\subset G$ je podgrupa, ako je grupa s obzirom na restrikciju operacije $\cdot$ s $G\times G\to G$ na operaciju $H\times H\to H$. To znači da ako su $h,k\in H$ tada $h\cdot k\in H$, $h^{-1}\in H$ i $e\in H$.

Ako je $H\subset G$ podgrupa, tada označimo

$$H\cdot g = [g]_H = \{h\cdot g\,|\,h\in H \},$$

i svaki takav skup zovemo lijeva susjedna klasa. Susjedna klasa je klasa ekvivalencije s obzirom na relaciju $\sim_H$ (biti u istoj lijevoj susjednoj klasi u odnosu na podgrupu $H$) u $G$ gdje su dva elementa $a,b\in G$ ekvivalentna akko postoje $h,h'\in H$ takav da $h\cdot a = h'\cdot b$. To je zaista relacija ekvivalencije:

(i) refleksivnost $a\sim_H a$ je očita (stavimo $h = h' = e$)

(ii) simetričnost $a\sim_H b$ je očita (zamijenimo uloge $h,h'$)

(iii) tranzitivnost: $a\sim_H b, b\sim_H c$ čitamo kao $h_1 a = h'_1 b$ i $h_2 b = h'_2 c$ za neke $h_1,h_2,h'_1,h'_2\in H$, dakle

$$h_2 (h'_1)^{-1}h_1 a = h_2 (h'_1)^{-1} h'_1 b = h_2 b = h'_2 b.$$

Kako je $h_2 (h'_1)^{-1}h_1\in H$ to slijedi $a\sim_H c$.

S druge strane, ako je $h\cdot a = h'\cdot b$ tada su $e\in H$ i $h\cdot h'^{-1}\in H$ jer je $H$ podgrupa, a očito uvjet $(h \cdot k^{-1})\cdot a = b = e\cdot b$ pa je ekvivalentan uvjet: $a\sim b$ iff postoji $f\in H$ takav da $f\cdot a = b$ (u tom obliku je manje očito da je relacija $\sim_H$ simetrična). Kao kod svake relacije ekvivalencije, za dva elementa $a,b\in G$ klase $[a]_H$ i $[b]_H$ su jednake ili disjunktne (nemaju zajedničkih elemenata). Skup svih lijevih susjednih razreda označavamo s $H\backslash G$ i zovemo lijevi kvocijentni skup grupe $G$ u odnosu na grupu $H$. Slično možemo razmišljati i o desnim susjednim razredima koji su po definiciji skupovi oblika $g\cdot H = \{g\cdot h\,|\, h\in H\}$ i o skupu desnih susjednih klasa $G/H$ (desni kvocijentni skup grupe $G$).

Propozicija. Neka je $g\in G$ i $H\subset G$ podgrupa. Tada je funkcija $h\mapsto h\cdot g$ bijekcija $H\to H\cdot g$.

Dokaz. To preslikavanje je surjekcija po definiciji lijeve susjedne klase $H\cdot g$ jer je svaki element u njoj oblika $h\cdot g$ za neki $h\in H$. Moramo još pokazati da je i injekcija. Dakle moramo vidjeti da ako je $h\cdot g = k\cdot g$ s $h,k\in H$ da je tada i $h= k$. Zaista, to slijedi množenjem jednakosti s $g^{-1}$ zdesna i korištenjem asocijativnosti. $\Box$

Iz propozicije neposredno slijedi da podgrupa $H$ i svaka njena lijeva susjedna klasa $H\cdot g$ (a slično tome i svaka desna susjedna klasa) imaju istu kardinalnost, isti broj elemenata. Kako smo gore zaključili da su svake dvije lijeve susjedne klase jednake ili disjunktne to znači da za grupu $G$ kardinalni broj $|G|$ elemenata u $G$ mora biti jednak umnošku kardinalnog broja susjednih klasa i kardinalnog broja elemenata u svakoj klasi,

$$|G| = |H| \, |H\backslash G| = |H|\,|G/H|$$

Kao posljedicu te formule u slučaju kad su ti kardinalni brojevi konačni dobivamo Lagrangeov teorem: broj elemenata u podgrupi konačne grupe $G$ (grupe s konačno mnogo elemenata) dijeli broj elemenata cijele grupe $G$. Tako npr. ne možemo imati podgrupu reda $8$ u grupi reda $12$.

Podgrupa $H\subset G$ je normalna podgrupa ako su za svaki $g\in G$ lijeva susjedna klasa $H\cdot g$ i desna susjedna klasa $g\cdot H$ jednake kao skupovi. To ne znači da je $h\cdot g = g\cdot h$ za sve $h\in H$ jer možemo imati $h\cdot g = g\cdot h'$ gdje je $h'$ neki drugi element u $H$, pa da na takav način opet postignemo bijekciju skupova.

S druge strane, podgrupa $H$ je normalna upravo onda kada je za svaki $g\in G$ skup

$$g H g^{-1} = \{g h g^{-1} | h\in G \}$$

jednak $H$. Drugim riječima, $(\forall g\in G)(\forall h\in H)g h g^{-1}\in H$.

Ako je $H$ normalna podgrupa u $G$ tada na skupu lijevih susjednih klasa formula

$$[a]_H \circ [b]_H := [a\cdot b]_H$$

ili $(H\cdot a)\circ(H\cdot b) := H\cdot (a\cdot b)$ ne zavisi o izboru predstavnika $a\in [a]_H$ i $b\in [b]_H$ pa dobro definira novu asocijativnu binarnu operaciju $\circ$ na skupu (lijevih=desnih) susjednih klasa $H\backslash G=G/H$ koja ima neutralni element $[e]_H$ i obostrane inverze $[g]_H^{-1} = [g^{-1}]_H$. Dakle, time smo dobili strukturu grupe na kvocijentnom skupu $G/H$ (po normalnoj podgrupi $H$), koju zovemo kvocijentna grupa grupe $G$ po normalnoj podgrupi $H$.

Ako je $(G,+)$ Abelova grupa, tada je svaka njena podgrupa $H$ očito normalna, naime iz komutativnosti grupovne operacije $g + H = H + g$ za sve $g\in G$.

Slobodna grupa na danom alfabetu (napredna tema)

Neka je $S$ neki skup elemenata koje ćemo tumačiti kao simbole u nekom alfabetu. Promatrajmo skup $S \cup S^{-1}$ gdje su elementi u $S^{-1}$ simboli oblika $s^{-1}$ gdje je $s\in S$ (formalni inverzi). Gledajmo skup $W_0(S\cup S^{-1})$ svih slogova (konačnih nizova) elemenata iz $S\cup S^{-1}$ uključujući praznu riječ koju ćemo označiti s $e$. Na tom skupu promatrajmo najmanju relaciju ekvivalencije gdje su dvije riječi ekvivalentne ako se mogu dobiti jedna iz druge konačnom primjenom transformacija umetanja ili izbacivanja susjednih parova $s s^{-1}$ i $s^{-1}s$ gdje je $s\in S$. Klase ekvivalencije množimo spajanjem (konkatencijom) predstavnika, pri čemu ako neprazni s praznom riječi onda $e$ ne pišemo. Time smo dobili grupu koju zovemo slobodna grupa s bazom $S$.

Neka je $G$ ma koja grupa i $T\subset G$ neki njen podskup. Kažemo da je $T$ skup izvodnica (generatora) ako se svaki element u $G$ može napisati kao umnožak konačnog broja elemenata u $T$ i njihovih inverza. Na primjer, baza slobodne grupe je skup izvodnica od $G$.

Ako je $G$ ma koja grupa i $T$ neki skup izvodnica u $G$. Promatrajmo slobodnu grupu $F_T$ na alfabetu $T$. Tada postoji homomorfizam $\phi_T$ iz $F_T$ u $G$ koji šalje ma koju riječ u njenu interpretaciju u $G$ gdje spajanje (konkatenaciju) zamijenimo množenjem u $G$. Taj homomorfizam je surjekcija. Kad god promatramo neki homomorfizam iz grupe u grupu, jezgro tog homomorfizma je skup svih elemenata u domeni čija slika je jedinični element $e$ u kodomeni. On je automatski normalna podgrupa. Elementi jezgre $N_T$ homomorfizma $\phi_T:F_T\to G$ se zovu identiteti u $G$ među elementima u $T$. Postoji dobro definirano preslikavanje $\bar{\phi}_T$ koje element u $F_T/N_T$ (tj. susjednoj klasi) šalje u sliku po $\phi_T$ ma kojeg predstavnika tog elementa. $\bar{\phi}_T$ je bijekcija i homomorfizam, tj. izomorfizam grupa. U svakoj grupi možemo odabrati neki skup izvodnica, npr. tu cijelu grupu. Svaka grupa je dakle kvocijentna podgrupa neke slobodne grupe. Grupu dakle možemo zadati tako da zadamo $T$ kao apstraktni alfabet, što zadaje $F_T$ i onda zadamo $N_T$ tako da zadamo neki svoj skup izvodnica $I$ za $N_T$ koje zovemo relacije. Takvo zadavanje se zove zadavanje preko izvodnica i relacija i pišemo $\langle T | I\rangle$. Na primjer, možemo promatrati grupu

$$\langle a,b | a b a^{-1}b^{-1}\rangle$$

koja ima izvodnice $a$ i $b$ i u kojoj, uz uobičajena svojstva u grupi, vrijedi $a b a^{-1}b^{-1} = 1$ i sve posljedice tih zahtjeva i samo one. Dakle vrijedi $a b = b a$ (pomnožimo s $b a$ zdesna). U stvari svaka dva elementa u toj grupi možemo zamijeniti (jer su to riječi u slovima $a$ i $b$ i njihovim inverzima, koje možemo zamijeniti), odnosno ta je grupa Abelova.

Možemo koristiti kraticu $a^m$ za spajanje (konkatenciju) $m$ kopija elementa $a$ u slobodnoj grupi i analogno u svim grupama i slično za cijele potencije. Gornja Abelova grupa ima dakle elemente oblika $a^m b^n$ jer se sve riječi u njoj mogu napisati u tom obliku gdje su $m,n$ cijeli brojevi, dakle ona je u bijekciji sa skupom parova cijelih brojeva $(m,n)$, odnosno Kartezijevim umnoškom $\mathbf{Z}\times\mathbf{Z}$. Očito su Abelove grupe mnogo jednostavnije od onih koje nisu jer se riječi pojednostavljuju komutiranjem.

Slobodna grupa $F$ s bazom $S$ ima jedno značajno svojstvo koje zovemo univerzalnim. Naime ako je $G$ ma koja druga grupa i $\chi:S\to G$ ma koje preslikavanje skupova, onda možemo definirati jedinstveni homomorfizam $\tilde\chi:F\to G$ koji proširuje $\chi$ to jest takav da je suženje $\tilde\chi|_S = \chi$. Naime, razred riječi u $S\cup S^{-1}$ pošaljemo slovo po slovo preko $\chi$ u $G$, invertirajući one koji su dani formalnim inverzom, i pomnožimo rezultate u $G$ istim redoslijedom.

Djelovanja grupa

Neka je $G = (G,\cdot,e)$ grupa i $X$ skup. Preslikavanje

$$\triangleright : G\times X\to X,\,\,\,\,(g,h)\mapsto g\triangleright h$$

je lijevo djelovanje grupe $G$ na skup $H$ ako vrijede slijedeća dva svojstva

(i) za sve $a,b\in G$ i sve $x\in X$ vrijedi

$$a\triangleright (b\triangleright x) = (a\cdot b)\triangleright x$$

(ii) $e\triangleright x = x$ za sve $x\in X$

Na primjer, svaka grupa djeluje na samu sebe množenjem slijeva.

Grupa permutacija skupa $X$ djeluje na $X$ tautološki, tj. ako je $s$ permutacija i $x\in X$ tada je $s\triangleright x = s(x)$.

Grupe u primjenama

Grupe se obično pojavljuju kao grupe transformacija. Dakle, gledajmo neki objekt u prirodi, ili neku strukturu u matematici, ili neki lik u geometriji ravnine, ili tijelo u geometriji prostora. Gledamo simetrije, a to su one operacije na objektu/transformacije tog objekta/strukture/ravnine/prostora koje čuvaju ona svojstva objekta (npr. strukture/grafa/lika/tijela) koja su bitna (odnosno koje želimo očuvati). Tu podrazumijevamo prirodno da postoji transformacija koja vraća natrag. Očito je bitan samo redoslijed transformacija, što znači da je kompozicija transformacija asocijativna, transformacija “ne radi ništa” ili “identična transformacija” je neutralni element s obzirom na kompoziciju transformacija i svaka transformacija ima inverznu transformaciju. Dakle simetrije objekta čine grupu.

Jedan primjer su izometrije ravnine $M$. One čine grupu $Iso(M)$ svih izometrija ravnine. Sjetimo se da je bijekcija $f:M\to M$ izometrija ako za svake dvije točke $A,B\in M$ vrijedi $d(A,B) = d(f(A),f(B))$.

Važan primjer su sve bijekcije nekog skupa $S$ u samog sebe: ponekad kažemo permutacije na skupu $S$. Tu grupu ćemo označavati $Perm(S)$. Taj primjer je posebno važan jer je prema Cayleyevom teoremu svaka grupa izomorfna podgrupi neke grupe permutacija.

Grupe se pojavljuju i kao dijelovi složenijih struktura. Npr. vektorski prostor se sastoji od Abelove grupe vektora, polja skalara i operacije množenja skalara i vektora. Afini prostor je pak skup s djelovanjem grupe vektora vektorskog prostora koje ima neko svojstvo slobodnosti. $n$-dimenzionalni prostor Euklidske geometrije je afini prostor čiji pripadni vektorski prostor je $n$-dimenzionalan ($n=2$ za ravninu i $n=3$ za uobičajeni prostor) i ima zadani (nedegenerirani, pozitivno definitni) skalarni umnožak (što je ekvivalentno zadavanjem udaljenosti i mjere kuta s uobičajenim svojstvima). Dakle grupe su u samim osnovama geometrije, shvaćenim na suvremeni način.

category: zadarmat4