Zoran Skoda mat3-191120

Udaljenost točke od pravca

Neka je $S$ neki skup točaka ravnine i $d$ funkcija udaljenosti/razmaka koja svakom paru točaka ravnine pridružuje nenegativni realni broj, naime njihovu međusobnu udaljenost (razmak) koja je definirana kao najmanja, odnosno općeinitije infimum, od svih udaljenosti od $A$ do svih mogućih točaka skupa $S$

$$d(A,S) = inf\{ d(A,T) | T\in S \}$$

Na primjer,

$$S = \{3.1, 3.01,3.001,\ldots\} \subset \mathbf{R}$$

Podsjetimo se pojma infimuma. Infimum podskupa $S$ nekog uređenog skupa $(R,\leq)$ je najveći od svih donjih ograda skupa $R$, ako takav element postoji. Donje ograde su elementi od $R$ koji su manji ili jednaki istovremeno svakom elementu podskupa $S$. One mogu, ali ne moraju, pripadati podskupu $S$ (ako jedna od njih pripada $S$, onda je donja ograda jedinstvena). Ako je infimum element od $S$ onda je on ujedno minimum od $S$. Nas zanima slučaj kad je $R =\mathbf{R}$ skup svih realnih brojeva. Ali, na primjer min{3.1, 3.01, 3.001, 3.0001, …} ne postoji, dok postoji infimum inf{3.1, 3.01, 3.001,…}, a taj je po definiciji

$$max\{x \in\mathbf{R} | x\leq y, \forall y\in \{3.1,3.01,3.001,\ldots \}\}$$

Po Pitagorinom teoremu, udaljenost $d(A,B) = \|\vec{A B}\|$ između dvije točke $A(x_A,y_A)$ i $B(x_B,y_B)$ u koordinatnoj ravnini je

$$d(A,B) = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$

U terminimima komponenti vektora $\vec{A B} = (A B_x, A B_y)$ vrijedi $A B_x = x_B - x_A$ i $A B_y = y_B - y_A$ pa je duljina $\|\vec{A B}\|$ vektora $\vec{A B}$ jednaka

$$\|\vec{A B}\| = \sqrt{ A B_x^2 + A B_y^2 }$$

Ako je p pravac i A točka van pravca, tada je d(A,p) jednaka udaljenosti od A do nožišta N okomice na p koja prolazi kroz A.

$$d(A,p) = d(A,N)$$

Kad bismo umjesto N uzeli neku drugu točku M na pravcu tada bi uvijek dobili veći broj:

$$d(A,M)\gt d(A,N),\,\,\,\,M\in p, M\neq N$$

Isto vrijedi za udaljenost točke od ravnine u prostoru i za udaljenost točke od pravca u prostoru. U oba slučaja je to udaljenost od točke do nožišta okomice na ravninu/pravac. Jedino što se okomica (normala) na pravac računa dosta drukčije nego okomica na pravac.

Neka je pravac u prostoru zadan parametarski kao

$$\mathbf{R}\ni t \mapsto \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t \vec{a}$$

gdje je $\vec{r}_0$ radijus-vektor neke točke $B(B_x,B_y,B_z)$ neka početna točka i $\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)\neq \vec{0}$ neki vektor uzduž pravca i neka je $A=(A_x,A_y,A_z)$ točka. Učvrstimo vektor $\vec{a}$ tako da mu je početna točka $B = \vec{r}_0$. To znači da mu je završna točka $C = \vec{r}_0 + \vec{a}$. Učvršćeni vektori $\vec{B A}$ i $\vec{B C}$ razapinju neki paralelogram $B C D A$ kojem je $\overline{B N}$ visina, a površina $P$ mu je duljina vektorskog umnoška

$$P = \|\vec{B A}\times\vec{B C}\| = \| (A_x - B_x, A_y - B_y, A_z - B_z)\times (a_x,a_y,a_z)\|$$

Kako je površina paralelograma umnožak visine i osnovice, $P = d(A,N)\cdot d(B,C)=\|\vec{A N}\|\cdot\|\vec{B C}\|$, to je udaljenost $d(A,p)=d(A,N)$ od $A$ do pravca $p$ jednaka

$$d(A,p) = \|\vec{A N}\| = \frac{P}{\|\vec{B C}\|} = \frac{\|\vec{B A}\times\vec{B C}\|}{\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2+(z_C-z_B)^2}}.$$

Da bismo mogli izračunati brojnik, moramo vidjeti kako računati vektorski umnožak vektora koji su zadani u terminima komponenti. Definicija je bila u terminima duljine, smjera i orijentacije. Takva definicija se lako koristi za unnoške jediničnih vektore $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ u smjeru koordinatnih osi $x,y,z$, a onda se pomoću zbrajanja i množenja sa skalarom prenese “bilinearno” na sve vektore. Dakle, neka su jedinični vektori

$$\array{ (1,0,0) = \vec{i} \\ (0,1,0) = \vec{j} \\ (0,0,1) = \vec{k} }$$

Tada je po definiciji vektorski umnožak dva vektora vektora čija duljina je jednaka površini paralelograma koji je razapet s ta dva vektora (odnosno nula ako su ta dva vektora kolinearna, jer je onda paralelogram degeneriran u dužinu), čiji je smjer okomit na oba vektora i čija je orijentacija dana pravilom desne ruke ili desnog vijka. To daje,

$$\vec{i}\times\vec{j} = (1,0,0)\times(0,1,0)=(0,0,1)= \vec{k}$$

$$\vec{j}\times\vec{i} = (0,1,0)\times(1,0,0)=(0,0,-1)=-\vec{k}$$

Kako je površina paralelograma kojem su dva vektora iz istog vrha jednaka $0$ (paralelogram je degeneriran u dužinu!), tako da vrijedi

$$\vec{i}\times\vec{i} = \vec{j}\times\vec{j} = \vec{k}\times\vec{k} = \vec{0}$$

što je jako različito od skalarnog umnoška gdje su sva tri umnoška $1$. Dakle, kod vektorskog umnoška kombinacije različitih komponenti daju prilog rezultatu, ne iste.

Isto je lako vidjeti iz definicije preko paralelograma da ako neki od vektora pomnožimo brojem da će se površina paralelograma pomnožiti tim brojem.

Štoviše ako promatramo sumu dva vektora i množimo s trećim, da dobijemo sumu prvog s trećim i drugog s trećim. Dakle vrijedi,

$$\array{ (2,3,0)\times (1,0,0)\\ = 2(1,0,0)\times(1,0,0) + 3(0,1,0)\times(1,0,0) \\= (0,0,-3) }$$

$$\array{ (a_x,a_y,0)\times(b_x,b_y,0) = \\ =(a_x (1,0,0) + a_y (0,1,0))\times(b_x(1,0,0)+b_y(0,1,0)) \\ = (0,0,a_x b_y - a_y b_x) }$$

ili, u drugoj notaciji,

$$\array{ (a_x\vec{i}+a_y\vec{j})\times(b_x\vec{i}+b_y\vec{j})\\ = a_x b_x \vec{i}\times\vec{i} + a_x b_y\vec{i}\times\vec{j} + a_y b_x\vec{j}\times\vec{i} + a_y b_y \vec{j}\times\vec{j} }$$

Nakon što članovi s $\vec{i}\times\vec{i}$ i $\vec{j}\times\vec{j}$ otpadnu, dobivamo

$$(a_x b_y - a_y b_x)\vec{k} = (0,0,a_x b_y - a_y b_x).$$

U 3 dimenzije treba uočiti i

$$\array{ \vec{j}\times\vec{k} = \vec{i}\\ \vec{k}\times\vec{j} = -\vec{i}\\ \vec{k}\times\vec{i} = \vec{j}\\ \vec{i}\times\vec{k} = -\vec{j} }$$

To pamtimo tako da $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ postavimo na kružnicu poredavši ih u pozitivnom smjeru (suprotnom onom od kazaljke na satu). Vektorski umnožak dva susjedna je treći i to s predznakom $+$ ako su množenici poredani kako stoje u pozitivnom smjeru i s predznakom $-$ ako su poredani u negativnom smjeru. Umnožak bilo kojeg sa samim sobom je nula. To možemo produljiti na sume i dobivamo općenito, ako $\vec{a} = (a_x,a_y,a_z)$ i $\vec{b} = (b_x,b_y,b_z)$ da je vektorski umnožak

$$\vec{a}\times\vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - b_y a_x)$$

ili, u notaciji s ortovima (jediničnim vektorima), $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$,

$$\array{ (a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k})\times (b_x\vec{i}+b_y\vec{j}+b_z\vec{k}) \\= (a_y b_z - a_z b_y)\vec{i} + (a_z b_x - a_x b_z)\vec{j} + (a_x b_y - b_y a_x)\vec{k} }$$

Kasnije ćemo pisati tu formulu i u terminima $3\times 3$-determinante (što se uči kasnije)

$$\vec{a}\times\vec{b}=\left|\array{a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}}\right|$$

category: zadarmat3