Zoran Skoda vjstat-zadaci-kombvjer1

$1.$ U urni se nalaze 3 crne, 2 bijele i 4 zelene špekule. Iz urne nasumce izvlačimo špekule jednu po jednu bez vraćanja u urnu. Koja je vjerojatnost da ćemo prvu crnu špekulu izvući prije nego izvućemo prvu zelenu špekulu ?

Rješenje: odluka će pasti u prvom koraku u kojemu izvućemo crnu ili zelenu špekulu, izvlačenje bijele samo produljava neizvjesnost. Kako su u urni 2 bijele špekule, najkasnije u trećem izvlačenju odluka će pasti.

Vjerojatnost da u prvom izvlačenju odmah izvućemo crnu špekulu je 3 crne od 9 špekula je P(1C)=3/9.

Vjerojatnost da odluka padne tek u drugom izvlačenju je vjerojatnost da u prvom izvlačenju izvučemo neodlučnu bijelu špekulu, dakle P(1B)= 2/9. Ako se to desi uvjetna vjerojatnost da u drugom izvlačenju dobijemo crnu špekulu je P(2C|1B) = 3/8 jer je ostalo samo 8 špekula. Dakle vjerojatnost da je odluka u drugom izvlačenju i to crna špekula je P(1B2C) = P(1B)P(2C|1B) = (2/9)(3/8) = 6/72 = 1/12.

Na kraju, vjerojatnost da je odluka tek u trećem krugu je P(1B2B) = (2/9)(1/8) = 2/72 = 1/36. U tom slučaju uvjetna vjerojatnost da će onda biti crna je P(3C|1B2B) = 3/7, dakle vjerojatnost P(1B2B3C) = (1/36)(3/7)=1/84.

Ukupna vjerojatnost je zbroj vjerojatnosti za ta tri disjunktna događaja (koja se ne mogu istovremeno desiti).

P = P(1C)+P(1B2C)+P(1B2B2C) = 3/9+1/12+1/84 = 3/7

P = 0.428517… = 42.85%

Drugo rješenje: kako bijele špekule ne utječu na poredak, izvlačenja u kojima su bijele špekule možemo ne brojiti, zanima nas samo odlučan korak. Kako znamo da je odlučan korak odlučan, tada je to uvjetna vjerojatnost

P(C|odlučan) = 3/7

jer cijeli svijet su sad samo odlučne špekule (zelene i crne, ukuno 7), a povoljne su crne, njih 3.

$2.$ Na rubu stola su 3 čaše, koje je Marta kupila za 8, 6 i 13 kuna. Marta slučajno lupi o stol i sve tri čaše padnu sa stola. Neke čaše se lakše slamaju od drugih.

Ona za 13 kuna se najlakše razbije i vjerojatnost razbijanja kod pada s te visine je P(raz13)=0.6, dok je P(raz8)= 0.5 i P(raz6)=0.4.

a) Ako znamo da se razbila točno jedna čaša, koja je vjerojatnost da je to ona od 13 kuna ?

b) Ako znamo da se barem jedna čaša razbila, koja je vjerojatnost da je čaša od 13 kuna jedna od njih ?

Rješenje: a) Kako su razbijanja različitih čaša nezavisni događaji i znamo da se samo jedna čaša razbila to je vjerojatnost da se čaša od 13 razbila, a ostale dvije nisu. Ako nam oznake raz13, raz8, raz6 označavaju da su se te čaše razbile, a ne13,ne8,ne6 suprotni događaji da se nisu, tada je P(ne8)= 1-P(raz8), dakle

P(raz13 ne8 ne6) = P(raz13)(1-P(raz8))(1-P(raz6))

P = 0.6 puta (1-0.5) puta (1-0.4) = 0.18 = 18%

b) Označimo događaj da se razbila barem jedna s B. Ovdje se traži uvjetna vjerojatnost i kako iz toga što se razbila slijedi da se razbila barem jedna , to je $P(B|raz13) = 1$ i $P(raz13\cap B) = P(raz13)P(B|raz13) = P(raz13)$. Obratno,

$$\array{ P(B|ne13) = P(raz8\cup raz6) \\ = P(raz8)+P(raz6)-P(raz8\cap raz6)\\ = P(raz8)+P(raz6)-P(raz8)\cdot P(raz6)\\ = 0.5+0.4-0.5\cdot 0.4 = 0.7 }$$

po principu uključenja-isključenja (vjerojatnost da se razbije 6 ili 8 kunska čaša je da se jedna plus da se druga manje da se obje istovremeno jer smo ih u ton slučaju brojili dvaput).

Dakle imamo Bayesovu formulu

$P(raz13|B) = \frac{P(raz13\cap B)}{P(B)} = \frac{P(raz13)}{P(raz13)P(B|raz13)+P(ne13)P(B|ne13)}$

Brojnik je 0.6, a nazivnik je zbroj vjerojatnosti dva disjunktna događaja: jedan je da se razbila 13, a drugi da se nije, ali se razbila barem jedna druga čaša. Uvrštavamo,

$$P(raz13|B) = \frac{0.6}{0.6\cdot 1 + 0.4\cdot 0.7} = \frac{0.6}{0.88} \stackrel\cdot{=} 0.6818$$

$3.$ Iz špila od 32 karte (4 boje, 7 po skali) izvlačimo ruku od 4 karte.

a) Kolika je vjerojatnost da ćemo imati dva para jednakih karata po skali (recimo dvije sedmice i dva asa), gdje ne gledamo na njihovu boju

Ukupno imamo 32 izaberi 4 ruku od 4 karte, a to je

$$\binom{32}{4} = \frac{32\cdot 31\cdot 30\cdot 29}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = 35960$$

Povoljni su slučajevi ovi: moramo izabrati najprije 2 karte po skali što možemo na 8 izaberi 2 načina, dakle 8 puta 7 kroz 2 = 28 načina. Sad najprije gledamo koje boje ima veća karta, to možemo na 4 izaberi 2 (2 boje od 4), dakle 6 načina i onda koje boje ima manja karta, to opet na 4 izaberi 2 načina. Dakle ukupno 28 puta 6 puta 6 jednako 1008. Vjerojatnost je dakle

$$P = \frac{1008}{35960} \stackrel\cdot{=} 0.02803$$