Zoran Skoda usmeni-mat2-primjeri

Ovo su samo neki primjeri tema i pojmova koje ispitujemo na usmenim ispitima. Proći kroz cijelo gradivo, za sve pojmove treba znati naći, prikazati i prepoznati primjere i ono što nisu. Proći kroz knjigu Pavkovića i Veljana, I tom veći dio gradiva na str. 177-273 + sam početak drugog toma o stereometriji. Vidi zadarmat2.

Svakako treba znati sve aksiome planimetrije i stereometrije zajedno s pratećim definicijama i strukturom teorije (primitivni pojmovi i osnovne relacije i funkcija udaljenosti). Kod stereometrije vrijede svi aksiomi planimetrije pravilno interpretirani (neki od njih se interpretiraju u prostoru, na primjer aksiomi o udaljenosti, jedna je funkcija udaljenosti u cijelom prostoru sa svojstvima grupe III aksioma, a neki u svakoj ravnini u prostoru, na primjer Paschov aksiom). Pripadne relacije uključuju relacije incidencije među pravcima i točkama, ravninama i točkama i pravcima i ravninama te istaknute uređaje na svakom pravcu; a preko definicija uvodimo i relacije ležati s iste strance zadanog pravca, ležati između dvije različite točke, biti kolinearan, biti komplanaran itd.

Što je to izometrija ? Što je to preslikavanje sličnosti ? Kako uvodimo: osnu simetriju, centralnu simetriju, rotaciju, translaciju, homotetiju. Objasni što je kut rotacije i kakve veze ima s kutem između pravaca kad prikazujemo rotaciju kao kompoziciju dviju osnih simetrija. Što je to pravokutni koordinatni sustav u ravnini/prostoru ? Što je konveksan skup, dužina, trokut, usmjerena dužina, orijengtirani pravac, smjer, polupravac, poluravnina, slobodni vektor, kružnica, krug, četverokut, poligonalna crta, mnogokut, paralelogram, trapez, kvadrat ? Kako uvodimo vanjštinu i nutrinu ?

Osnovna svojstva izometrija (šalju pravce u pravce itd. kako se to vidi iz aksioma; inverz izometrije je izometrija). Sukladnost. 4 osnovna teorema o sukladnosti trokuta. Zašto kad zadajemo trokut pomoću dvije stranice i kuta nasuprot jedne od stranica zahtijevamo da je to nasuprot većoj stranici ? Translacija pomoću vektora i translacija kao kompozicija dviju osnih simetrija u odnosu na pravce koji su međusobno okomiti.

Što je to kut, orijentirani kut, što je kutni isječak (otvoreni, zatvoreni) ? Kako uvodimo kružni isječak ? Kružni odsječak ? Kružni luk ? Teorem o središnjem i obodnom kutu. Talesov teorem o kutu nad promjerom kružnice. Kako zbrajamo kuteve ? Kako uvodimo mjeru kuta ? Što je pobvršina ? Zbroj unutarnjih kuteva u trokutu, u mnogokutu. Tangencijalni i tetivni četverokut. Polara. Pretvaranje mjera kuta iyme]u stupnjeva i radijana.

Što je geometrijska konstrukcija. Osnovni primjeri geometrijskih konstrukcija. Središte kružnice i kružnica konstruirana za zadane tri točke na kružnici. 4 osnovne geometrijske konstrukcije trokuta. Tangente kroz zadanu točku van kružnice. Kut od 60 stupnjeva.

Površine jednostavnih likova i tijela. Definirati sferu i kuglu, koja je razlika ? Prizma i piramida. Uspravna i kosa prizma, uspravna i kosa piramida. Valjak, čunj/konus/stožac, valjčane plohe, čunjosječnice (elipsa, hiperbola, parabola).

Polovište dužine. Simetrala stranice (definicija i karakterizacija, geometrijska konsrukcija). Simetrala kuta.

Međusobni položaji 2 pravca, 2 kružnice i pravca i kružnice u ravnini (sve mogućnosti i kod kružnica kriteriji pomoću udaljenosti). Mogući presjeci dvije sfere, sfere i pravca, sfere i ravnine, dvije ravnine, kugle i ravnine itd.

Osnovni teoremi o veličini kuteva i stranica trokuta (nasuprot veće stranice veći kut, nasuprot jednakim stranicama jednaki kutevi, zbroj kuteva u trokutu je ispruženi kut i svaki vanjski kut trokuta je jednak zbroju drugih dvaju unutarnjih kuteva u trokutu) i dokazi.

Osnovni teorem o izometrijama ravnine. Rotacija kao kompozicija dviju osnih simetrija. Sličnost kao kompozicija izometrije i homotetije.

Paralelna (kosa) projekcija. Okomita projekcija na pravac ili na ravninu. Aksiom o paralelama. Što je to neeuklidska geometrija ? Talesov teorem o proporcionalnosti.

Dokaz teorema o središnjem i obodnom kutu.

Osnove trigonometrije; trigonometrijske funkcije za višekratnike od $\pi/6$ i od $\pi/4$. Sinusov i kosinusov teorem.

4 karakteristične točke trokuta. Teorem o težištu i težišnicama. Kako računamo radijus trokutu opisana i trokutu upisane kružnice. Teorem o ortocentru. Objasniti zašto je centar opisane kružnice.

Koliko dijagonala ima $n$-terokut ? Skiciraj primjer nekonveksnog četverokuta. Što je to romb ?

Slobodni vektori. Relacija ekvipotentnosti (ekvivalencija na skupu usmjerenih dužina). Zbrajanje vektora. Pravilo trokuta i pravilo paralelograma. Množenje vektora brojem.

Svojstva funkcije udaljenosti. Zašto je svaka izometrija injekcija ? Zašto je svaka osna simetrija involucija. Što je to involucija ?

Paralelnost i okomitost pravaca i pravaca, ravnina i pravaca, ravnina.
Kut između dvije ravnine. Mimoilazni pravci. Udaljenost točke od pravca.

Parametarska jednadžba pravca u ravnini i u prostoru.

Kako svaku izometriju prikažemo kao kompoziciju najviše tri osne simetrije, objasniti geometrijski.

Površina paralelograma i površina trokuta. Površina trapeza. Srednjica trapeza. Heronova formula. Trokutu pripisane kružnice, njihova konstrukcija i polumjeri pripisanih kružnica.

Izvodice, baza i pobočje piramide, valjka itd.

Eulerov teorem o broju vrhova, bridova i stranica jednostavnog poliedra.

Pravilni mnogokutevi (pravilni $n$-gon). Pravilna (Platonova) tijela i koja su; koliko imaju stranica, bridova i vrhova. Objasniti.

Pravokutni trokut. Pitagorin teorem i obrat Pitagorinog teorema. Dokaz Pitagorinog teorema. Kakva je veza Pitagorinog teorema i kosinusovog teorema ?

Skalarni i vektorski umnožak vektora. Normala na ravninu. Implicitna jednadžba ravnine. Paralelepiped. Volumen paralelepipeda i mješoviti umnožak vektora. Dirichetov princip. Volumen piramide i dijeljenje trostrane prizme na tri trostrane piramide međusobno istog volumena.

Kad je ortocentar van trokuta ? Kad je na rubu trokuta ? Kad je unutar trokuta ? Definicija visine. Teorem o srednjici trokuta i njen dokaz.