Zoran Skoda snop

Snop (engl. sheaf) je predsnop (engl. presheaf) koji zadovoljava uvjete ljepljenja. Možemo promatrati dva slučaja: snopovi na topološkom prostoru i, općenitije, snopovi na Grothendieckovom sajtu. Snopovi na topološkim prostorima mogu se alternativno zadati kao tzv. etalni prostori.

Snopovi nad topološkim prostorima i etalni prostori

Neka je $(B,\tau)$ topološki prostor. Označimo s $\mathrm{Ouv}_{(B,\tau)} = \mathrm{Ouv}_B$ kategoriju kojoj su objekti otvoreni podskupovi u $B$, a morfizmi ulaganja otvorenih podskupova $i:U\hookrightarrow V$.

Kažemo da je familija objekata $\mathcal{U} = \{U_i\}_{i\in I}$ pokrivač u $\mathrm{Ouv}_B$ pokrivač objekta $U$ ako $\cup_i U_i = U$.

Predsnop $P$ nad topološkim prostorom $B$, s vrijednostima u kategoriji $\mathcal{C}$ je predsnop iz male kategorije $\mathrm{Ouv}_B$ (tj. kontravarijantni funktor) u $\mathcal{C}$. Prirodne transformacije su morfizmi predsnopova nad $B$. Predsnopovi nad $B$ i njihove transformacije čine kategoriju $\mathbf{PFas}_B$.

Ako je $P:\mathrm{Ouv}_B^0\to \Set$ predsnop skupova i $i: U\hookrightarrow V$, tada ćemo morfizam $P(i):P(V)\to P(U)$ u $\Set$ označavati i s $r_{UV}$ i $x\mapsto x|_U$ i zvati restrikcija s $V$ na $U$. Elementi skupa $P(U)$ se nazivaju i prerezi predsnopa $P$ nad $U$}.

Separirani predsnop skupova (ili, rjeđe korišten termin, monopredsnop) nad topološkim prostorom $(B,\tau)$ je predsnop $P:\mathrm{Ouv}_B^0\to \Set$ takav da za svaki pokrivač $\mathcal{U}$ od $U$, i svaka dva različita elementa $x\neq y$ u $P(U)$ postoji $i$ takav da je $x|_{U_i}\neq y|_{U_i}$.

Epipredsnop skupova je predsnop $P:\mathrm{Ouv}_B^0\to \Set$ takav da za svaki pokrivač $\mathcal{U}$ od $U$, ukoliko je $\{x_i\}_i$ familija elemenata $x_i\in P(U_i)$ i vrijedi $x_i|_{U_i\cap U_j} = x_j|_{U_i\cap U_j}$, tada postoji $x$ u $P(U)$ takav da je $x|_{U_i} = x_i$.

Definicija. Snop je separirani epipredsnop.

Ovu definiciju možemo izreći i ovako: snop je predsnop $P$ takav da je za svaki pokrivač $\mathcal{U}$ od $U$ dijagram

ujednačitelj paralelnog para dva očita prirodna morfizma sastavljenih od restrikcija $\prod_{i j} (r_{U_i,U_{i j}})$ i $\prod_{i j} (r_{U_j, U_{i j}})$. Ta definicija ima smisla za predsnopove s vrijednostima u bilo kojoj zatvorenoj kategoriji $\mathcal{C}$ umjesto $\Set$, npr. kategoriji grupa $\mathbf{Grp}$ ili kategoriji Abelovih grupa $\mathbf{Ab}$.

Morfizam snopova $\alpha : F\to G$ nad bazom $B$ je morfizam predsnopova nad $B$ iz snopa $F$ u snop $G$, tj. prirodna transformacija kontravarijantnih funktora. Snopovi nad $B$ i njihovi morfizmi čine dakle punu potkategoriju $\mathbf{Fas}_B$ kategorije $\mathbf{PFas}_B$ predsnopova nad $B$.

Inicijalni objekt u kategoriji skupova je prazan skup, a u kategoriji $\mathrm{Ouv}_X$ je također. Terminalni objekt u $\Set$ je skup s jednim elementom (singleton), a u $\mathrm{Ouv}_B$ je $B$. Dakle netrivijalni predsnop skupova ne može slati prazan skup u prazan skup, jer po kontravarijantnosti bi trebao postojati morfizam iz $P(U)$ u $P(\emptyset)$, no ne postoji preslikavanje iz $P(U)$ u $\emptyset$ ukoliko je $P(U)$ neprazan.

Fibrirani produkti u kategoriji $\mathrm{Ouv}_B$ su naprosto presjeci skupova.

Neka je $\mathcal{C}$ bilo koja kategorija, a $B$ objekt u $\mathcal{C}$. Tada s $\mathcal{C}/B$ označavamo kategoriju kriški nad $B$ (engl. slice category). Objekti kategorije $\mathcal{C}/B$ su morfizmi oblika $f : E\to B$ u $\mathcal{C}$, a morfizmi $\alpha : f\to g$ u $\mathcal{C}/B$ su komutativni trokuti oblika

u $\mathcal{C}$.

Kategorija $\mathbf{Bun}_B := \mathbf{Top}/B$. Objekte u $\mathbf{Bun}_B$ nazivamo (topološkim) prostorima nad (bazom) $B$. Ponekad se kaže svežanj nad $B$, ili raslojenje nad $B$ (engl. bundle); mi ćemo, medjutim rezervirati riječ svežanj za jedan specijalni ali važan slučaj: lokalno trivijalni raslojeni prostor (fibre bundle) s tipičnim slojem. Morfizme u $\mathbf{Bun}_B$ zovemo (neprekidna) preslikavanja prostora nad $B$.

Kategorija etalnih prostora je puna potkategorija $\mathbf{Et}_B \subset\mathbf{Bun}_B$ čiji su objekti lokalni homeomorfizmi $\pi:E\to B$. To znači da za svaku točku $e\in E$ postoji okolina $U^{otv}\ni e$, takva da je $\pi(U)$ otvoreni skup u B i restrikcija $\pi|U : U\to \pi(U)$ homeomorfizam.

Natkrivanje (engl. covering space) topološkog prostora $B$ je prostor $\pi : E\to B$ nad $B$ takav da je $\pi$ surjekcija i za svaki $b\in B$ postoji $U^{otv}\ni b$ tako da postoji familija disjunktnih otvorenih podskupova $U_\alpha\subset E$ sa svojstvom $\pi^{-1}(U)=\coprod_\alpha U_\alpha$ i $\pi|_{U_\alpha}:U_\alpha\to U$ je homeomorfizam za svaki $\alpha$. Ukoliko su $E$ i $B$ glatke mnogostrukosti tada je dobiveno natkriva nje glatko ukoliko možemo izabrati $U$ tako da je $\pi|_{U_\alpha}$ difeomorfizam. Svako natkrivanje je primjer etalnog prostora, ali ne i obratno: kod etalnih prostora, okoline $U_\alpha$ točaka $p_\alpha\in\pi^{-1}(b)$ koje se homeomorfno preslikavaju na svoje slike imaju slike $\pi(U_\alpha)$ koje se medjusobno razlikuju (mogu biti i nehomeomorfne slike, no to nije bitno). Ako je $\pi^{-1}(b)$ beskonačan skup tada je moguće da presjek $\cap_\alpha \pi(U_\alpha)$ nije zatvoren. Natkrivanja prostora čine punu potkategoriju $\mathbf{Cov}_B\subset\mathbf{Et}_B$. U praksi se često razmatra samo potkategorija povezanih natkrivanja povezanih prostora.

\nxpoint Neka je $b$ točka u $B$ i $P$ predsnop skupova nad $B$. Neka je $\sim_b$ relacija ekvivalencija na uniji $\cup_{U^{otv}\ni b} P(U)$, gdje $P(U)\ni(U,y)\sim_b (V,z)\in P(V)$ akko postoji $W^{otv}\ni U\cap V$ takva da $b\in W$ i $y|W=z|W$. Klase ekivalencija zovemo klice prereza (ili sekcija) predsnopa $P$ u točki $b$. Klasa ekvivalencije prereza $x$ u točki $b$ se označava s $[x]_b$. Skup svih klasa ekvivalencija u točki $b$ nazivamo vlat asociranog etalnog prostora $E(P)_b$ u točki $b$.

\nxpoint (\zadatak 1.1) Dokaži da je skup klasa ekvivalencija $E(P)_b$ jednak kolimesu $\colim_{U\ni b} P(U)$ dijagrama koji je restrikcija predsnopa $P$ na punu potkategoriju u $\mathrm{Ouv}_B$ čiji su objekti otvorene okoline od $b$ u $B$.

\nxsubpoint Totalni skup asociranog etalnog prostora $E(P)= \coprod_b \colim_{U\ni b} P(U)$ predsnopa skupova $P$ je disjunktna unija svih vlati asociranog snopa.

\nxsubpoint \label{sub:tilda} Neka je $P$ predsnop i $s\in P(U)$. Označi sa $\tilde{s}:U\to E(P)$ funkciju danu sa $\tilde{s}(b) = [s]_b$. Postoji najmanja topologija u kojoj su sve slike oblika $Im(\tilde{s}) = \{[s]_b \,|\, b\in U\}$ za sve prereze $s\in P(U)$) otvoreni skupovi (“slike svih asociranih prereza $\tilde{s}$ čine bazu topologije u $E(P)$”). Totalni prostor asociranog etalnog prostora $E(P)$ je totalni skup asociranog etalnog prostora s tom topologijom. Projekcija asociranog etalnog prostora je preslikavanje $\pi:E(P)\to B$ dano s $\pi([s]_b)=b$.

\nxsubpoint \label{sub:stildanepr} Propozicija. $\tilde{s}: U\to E(P)$ je neprekidno preslikavanje i $\pi\circ\tilde{s}=\id_U$.

Dokaz. Jednakost je očita: $b\stackrel{\tilde{s}}\mapsto [s]_b\stackrel\pi\mapsto b$. Dakle treba pokazati neprekidnost.

Pretpostavimo suprotno, tj. postoji točka $b$ u kojoj $\tilde{s}$ nije neprekidno. To znači da postoji okolina $W^{otv}\ni \tilde{s}(b)= [s]_b$ tako da za svaku okolinu $V^{otv}\ni b$, $\tilde{s}(V)$ nije podskup od $W$. Kako je $W$ otvoren i sadrži $[s]_b$ to postoji element baze topologije oblika $\tilde{t}(Z^{otv})\subset W$ gdje $Z\ni [s]_b$, $t\in P(Z)$. To znači da $[t]_b = [s]_b$, dakle postoji okolina $Z'\subset Z\cap U$ tako da je $t|Z'= s|Z'$. Ako stavimo $V=Z'$ tada je $V$ otvorena i sadrži $b$, te $\tilde{s}(V)=\tilde{t}(V)\subset \tilde{t}(Z)\subset W$ s kontradikcijom.

\nxsubpoint \label{sub:pijeetalno} Propozicija. Projekcija $\pi:E(P)\to B$ dana s $\pi([s]_b)=b$ je neprekidno, i štoviše, etalno preslikavanje.

Dokaz. Ova projekcija je dobro definirana jer je $E(P)$ po definiciji disjunktna unija vlati.

$\pi$ je etalan ako za svaku točku $e\in E(P)$ postoji okolina $U^{otv}\ni e$ tako da je $\pi(U)$ otvoren u $B$ i $\pi|_U:U\to\pi(U)$ homeomorfizam. Po definiciji totalnog skupa, $e$ je klica $[s]_b$ nekog prereza $s : V^{otv}\to E(P)$, a slika $\tilde{s}(V)$ je otvorena okolina točke $e$. Dakle $\pi\circ\tilde{s}(V) = V$ je otvoren skup, a $\pi|_{\tilde{s}(V)}:\tilde{s}(V)\to V$ bijekcija. Preslikavanja $\pi$ i $\pi_U$ su oba neprekidna u točki $p$ ako za svaku okolinu $b\in W^{otv}\subset V\cap \pi(U)$ postoji okolina $p\in Z^{otv}\subset U$, tako da $\pi(Z)=\pi|_U(Z)\subset \subset W$. No to je lako: stavimo naprosto $Z:=\tilde{s}(W)$. Dakle $\pi$ i $\pi|_W$ su neprekidni. Kako je takodjer $\tilde{s}$ neprekidno prema \refpoint{sub:stildanepr} i $\pi\circ\tilde{s}= \id_V$ to je $\pi|_Z$ homeomorfizam na sliku.

\nxpoint \label{s:localeq} Propozicija. (i) Ako $s\in P(U)$ tada je $\tilde{s}$ neprekidno i $\pi\circ\tilde{s}=\id_U$.

(ii) Preslikavanje $t:U\to E(P)$ koje zadovoljava $\pi\circ t=\id_U$ je neprekidno samo ako oko svake točke $b\in U$ postoji okolina $b\in W^{otv}\subset U$ takva da je $t=\tilde{s}$ za neki $s\in P(W)$.

(iii) Neka su $t,s\in P(U)$. Tada $\tilde{t}=\tilde{s}$ akko postoji pokrivač $\mathcal{U}=\{U_i\}_i$ od $U$ tako da je $t|_{U_i}=s|_{U_i}$ za sve $i$.

Dokaz. (i) Po definiciji topologije u $E(P)$, ako $s\in P(U)$ tada je $\tilde{s}$ neprekidno. Također $(\pi\circ \tilde{s})(b) = \pi([s]_b) = b$.

(ii) Neka je $b\in U$. Tada po definiciji topologije u $E(P)$ postoje $W^{otv}\subset U$, $b\in W$ i prerez $s\in P(W)$ takvi da je $t(b)\in\tilde{s}(W)\subset t(U)$. Kako je $\pi\circ t = \id_U$ i $\pi\circ\tilde{s}=\id_W$, to vrijedi $\tilde{s}(w)= t(w)$ za svaki $w\in W$.

(iii) Neka je $b\in U$. Tada $[s]_b= \tilde{s}[b] = \tilde{t}[b]=[t]_b$, tj. postoji $b\in W_b^{otv}\subset U$ takav da $s|_{W_b}= t|_{W_b}$. Dakle $\{W_b\}_b$ je traženi pokrivač. Obratno, činjenica da je $s|_{U_i}= t|_{U_i}$ implicira da $[s]_b = [t]_b$ za svaki $b\in U_i$; kako je $\mathcal{U}$ pokrivač, isto slijedi za sve $b\in U$, pa, prema definiciji, $\tilde{s}=\tilde{t}$.

\nxpoint Propozicija. Postoji kanonski funktor $\Gamma: \mathbf{Bun}_B\to\mathbf{PFas}_B$ koji je na objektima $(\pi_E : E\to B)$ u $\mathbf{Bun}_B$ zadan s $\Gamma : (E\stackrel\pi\to B)\mapsto \Gamma E$ gdje

$$(\Gamma E)(U) = \Gamma_U(E) = \{ s : U\to E neprekidno | \,s\circ\pi_E = \id_U\}$$

$$r^{\Gamma E}_{VU} = (\Gamma E)(V\hookrightarrow U) : s \mapsto s|_V, \,\,\,\,\,V\subset U,\,s\in \Gamma_U(E).$$

Ovdje je $\Gamma E$ naravno skraćenica za $\Gamma(E\stackrel\pi\to B)$ ili, ekvivalentno, $\Gamma\pi_E$.

Kažemo da su elementi od $\Gamma_U(E)$ (neprekidni prerezi (sekcije) nad $U$.

Dokaz. Treba zadati taj funktor i na morfizmima u $\mathbf{Bun}_B$ i pokazati funktorijalnost. Neka je dakle $f:E\to F$ neprekidno preslikavanje prostora nad bazom $B$, tj. $\pi_E=\pi_F\circ f$. Malo je nezgodno označavati vrijednost funktora $\Gamma$ na $f$ s $\Gamma f$, ili preciznije $\Gamma (f/B)$ jer se ne radi o sekcijama preslikavanja $f$, nego induciranom morfizmu medju sekcijama $\Gamma(E\to B)$ i $\Gamma(F\to B)$. Transformacija $\Gamma (f/B): \Gamma \pi_E\Rightarrow \Gamma \pi_F$ je dana u komponentama naprosto s $\Gamma_U(f/B)(s)=f\circ s$, gdje je $s\in\Gamma_U(E)$. Funktorijalnost je očita iz formule.

\nxpoint Propozicija. Predsnop prereza $\Gamma(E\to B)$ bilo kojeg prostora nad $B$ je snop.

Dokaz. Separiranost. Neka je $\mathcal{U}=\{U_i\}_i$ pokrivač od $U$ i $r,t\in \Gamma_U(\pi_E)$ te $r|_{U_i} = t|_{U_i}$ za sve $i$. Tada za svaki $b\in U_i$ $r(b)=t(b)$, a kako $U_i$ pokrivaju $U$, tada je $r=t$ kao preslikavanja skupova.

Svojstvo epipredsnopa. Neka je dalje $v_i\in P(U_i)$ familija prereza čije restrikcije se podudaraju na presjecima $U_i\cap U_j$. To znači da formula $v(b) = [v_i]_b$ za $b\in U_i$ ne zavisi o predstavniku. Dakle $v:b\mapsto v(b)$ je dobro definirana sekcija i $v|U_i = v_i$. Neprekidnost $v$ se provjerava lokalno, no kako je lokalno $v|U_i = v_i$ slijedi iz neprekidnosti $v_i$; analogno izlazi i svojstvo prereza $\pi\circ v = \id_B$ iz $\pi\circ v_i = \id_{U_i}$.

\nxsubpoint (Napomene i primjeri.) Slično, ukoliko je $E\to B$ neprekidna projekcija u kategoriji topoloških prostora s nekom dodatnom strukturom ili svojstvom, tada možemo gledati umjesto $\Gamma_U E$ samo prereze koji respektiraju dodatnu strukturu ili svojstvo. Na primjer, ukoliko je $E\to B$ glatko (analitičko) preslikavanje glatkih (analitičkih) tada je asociranje otvorenom skupu $U$ prostora glatkih (analitičkih) prereza $\Gamma^{\mathrm{sm}}_U E$ (redom, $\Gamma^{\omega}_U E$) snop. No, to ne vrijedi za svojstva koja nisu lokalne prirode. Npr. ukoliko promatramo potprostor ograničenih prereza $\Gamma^{\mathrm{b}}_U E$, tada imamo separirani predsnop, no općenito nemamo snop! Naime prerez može biti neograničena na nekoom otvorenom skupu $U$, a da je ograničena na svakom elementu $U_i$ nekog pokrivača $\{U_i\}_i$ od $U$. Ukoliko je $E = B\times R$ gdje je $R$ neki topološki prostor (moguće s dodatnom strukturom) tada se prerezi mogu poistovjetiti s funkcijama $B\to R$. Na taj način uvodimo snopove neprekidnih funkcija, glatkih funkcija i analitičkih funkcija. Snopifikacija $a\Gamma^{\mathrm{b}\omega}(E,\mathbf{C})$ separiranog predsnopa $C^{\mathrm{b}\omega}_E = \Gamma^{\mathrm{b}\omega}(E,\mathbf{C})$ ograničenih analitičkih funkcija $B\to \mathbf{C}$ izomorfna je snopu analitičkih funkcija $C^\omega_E = \Gamma^{\omega}(E,\mathbf{C})$ (ograničenost se ne može razlikovati na klicama, pa nestaje prelaskom na prostor klica, dakle i prelaskom na asocirani snop).

\nxpoint Propozicija. Korespodencija $P\mapsto \left(E(P)\to B\right)$ se može kanonski proširiti do funktora $\mathcal{L}:\mathbf{PFas}_B\longrightarrow\mathbf{Bun}_B$.

Dokaz. Neka je $\alpha:P\Rightarrow Q$ prirodna transformacija predsnopova. Definiramo $\mathcal{L}(\alpha):E(P)\to E(Q)$ na klicama s $\mathcal{L}(\alpha)([s]_b)=[\alpha_U(s))]_b$ gdje je $s\in P(U)$ proizvoljni predstavnik klice $[s]_b$. Treba pokazati da ta definicija ne zavisi od izbora predstavnika. Neka je $t\sim_b s$, gdje je $t\in P(V)$. Dakle postoji $W^{otv}\subset U\cap V$ s $b\in W$ takav da $s|W = t|W$. Iz prirodnosti transformacije $\alpha:P\Rightarrow Q$ (za morfizme $W\hookrightarrow U$ i $W\hookrightarrow V$) slijedi da $\alpha_U(s)|W =\alpha_W(s|W)=\alpha_W(t|W)=\alpha_V(t)|W$, dakle $\alpha_U(s)\sim_b\alpha_V(t)$ što smo i tražili.

Pokažimo da je $\mathcal{L}(\alpha)$ morfizam u $\mathbf{Et}_B\subset\mathbf{Bun}_B$, tj. neprekidno preslikavanje nad $B$. Kako slike prereza čine bazu topologije, dovoljno je pokazati da je za svaki $U^{otv}$, za svaki $s\in Q(U)$, praslika

$$\mathcal{L}(\alpha)^{-1}(\tilde{s}(U))= \{\mathcal{L}(\alpha)^{-1}([s]_b) | b\in U\}$$

otvoren skup u $E(P)$. Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji točka $y\in \mathcal{L}(\alpha)^{-1}(\tilde{s}(U))\subset E(P)$ s $b=\pi(y)$ tako da $y$ nije u interioru tog skupa. Tada $\mathcal{L}(\alpha)(y) = [s]_b$. To znači da postoji $W^{otv}\ni b$ i $r\in \Gamma_U(E)$ tako da je $[r]_b = y$ i $\mathcal{L}(\alpha)([r]_b) = [\alpha_W(r)]_b = [s]_b$. Dakle prijelaskom na manju okolinu $b\ni Z^{otv}\subset W$ možemo postići da je $\alpha_Z(r|_Z)=\alpha_W(r|_W)|_Z = s|_W|_Z=s|_Z$. To znači da je $r(Z)\subset \mathcal{L}(\alpha)^{-1}(\tilde{s}(U))$. Kako je $r(Z)$ otvorena okolina od $y$ dobili smo kontradikciju.

Provjera funktorijalnosti $\mathcal{L}$ je ostavljena čitatelju.

\nxsubpoint Kako je, prema \refpoint{sub:pijeetalno}, projekcija $[x]_b\mapsto b$ s $E(P)\to B$ etalni prostor, funktor $\mathcal{L}$ se faktorira kao $\mathcal{L}:\mathbf{PFas}_B\to\mathbf{Et}_B\hookrightarrow\mathbf{Bun}_B$.

\nxpoint \label{s:snopif} Neka je $P$ predsnop nad prostorom $B = (B,\tau)$. Tada je snopifikacija predsnopa $P$ morfizam predsnopova $\alpha : P\to a(P)$ gdje je $a(P)$ asocirani snop tj. snop takav da za bilo koji drugi snop $F$ i morfizam predsnopova $P\to F$ postoji jedinstvena dekompozicija $P\stackrel\alpha\to a(P)\to F$. Očito se to može izreći kao univerzalno svojstvo, pa je snopifikacija, ako postoji, jedinstvena do na izomorfizam snopova.

\nxpoint Teorem. Kompozicija $a = \Gamma\circ\mathcal{L}:\mathbf{PFas}_B\to\mathbf{Fas}_B$ je funktor, takav da je morfizam predsnopova $P\Rightarrow a(P)$, koji je po komponentama $P(U)\to (aP)(U)$ dan sa $s\mapsto\tilde{s}$ snopifikacija (\refpoint{s:snopif}) predsnopa $P$, tj. zadovoljava univerzalno svojstvo snopifikacije. Dakle snopifikacija bilo kojeg predsnopa $P$ s vrijednostima u kategoriji skupova postoji. Funktor $a$ nazivamo funktor snopifikacije ili asociranog snopa.

Dokaz. Neka je $F$ neki drugi snop i $\alpha:P\Rightarrow F$ transformacija (morfizam predsnopova) s komponentama $\alpha_U:s\mapsto\alpha_U(s)$. Tražimo morfizam predsnopova $\beta : aP\Rightarrow F$ takav da $\alpha = \beta\circ \eta_P$, drugim riječima takav da $\tilde{s}\mapsto \alpha_U(s)$ za svaki $s\in P(U)$. Neka je $t\in (aP)(U)$ proizvoljni element (‘prerez’). Tada postoji pokrivač $\mathcal{U} = \{U_i\}_{i\in I}$ od $U$, i elementi $r_i\in P(U_i)$ takvi da $t|_{U_i} = \tilde{r}_i$. Definiramo $\beta_U(t)$ s $\beta_U(t)|U_i =\alpha_U(r_i)$. Kako je $F$ snop, $\beta_U(t)$ je odredjen svojim restrikcijama an elemente pokrivača, ukoliko se podudaraju na presjecima, tj. ukoliko

$$\alpha_{U_i}(\tilde{r}_i)|_{U_i\cap U_j} = \alpha_{U_j}(\tilde{r}_j)|_{U_i\cap U_j}.$$

U tu svrhu primijeti da $\tilde{r}_i|_{U_i\cap U_j}=t|_{U_i}|_{U_i\cap U_j}=t|_{U_j}|_{U_i\cap U_j}=\tilde{r}_j|_{U_i\cap U_j}$, dakle za svaku točku $b\in U_i\cap U_j$ (prema \refpoint{s:localeq} (iii)) postoji okolina $Z^{otv}= Z_b\subset U_i\cap U_j$ takva da $r_i|_Z=r_j|_Z$. Tada $\alpha_Z(r_i|_Z)=\alpha_Z(r_j|_Z)$, dakle, po prirodnosti transformacije $\alpha$, $\alpha_{U_i}(r_i)|_Z=\alpha_Z(r_i|_Z)=\alpha_Z(r_j|_Z)=\alpha_{U_j}(r_j)|_Z$, pa, kako je $F$ snop, i kako $Z_b$ za razne $b\in U_i\cap U_j$ čine pokrivač od $U_i\cap U_j$, to $\alpha_{U_i}(r_i)|_{U_i\cap U_j}=\alpha_{U_j}(r_j)|_{U_i\cap U_j}$.

Moramo pokazati da ta definicija ne zavisi od izbora pokrivača $\mathcal{U}$ te izbora $r_i$ (sjetimo se da $r\mapsto\tilde{r}$ nije nužno ni injekcija). Neka je dakle $\mathcal{V}=\{V_j\}_{j\in J}$ drugi pokrivač i $v_j\in P(V_j)$ takvi da je $\tilde{v}_j = t|_{V_j}$. Tada za svaki $b\in U$ postoje $i\in I$, $j\in J$ i okolina $W_b^{otv}\in b$, $W_b\subset U_i\cap U_j$ tako da $v_j|_{W_b} = t_{W_b}=r_i|_{W_b}$. Dakle $\alpha_{W_b}(v_j|_{W_b})=\alpha_{W_b}(r_i|_{W_b})$ i, kako je $F$ snop, i to vrijedi za sve $b\in U_i\cap V_j$, i prema prirodnosti $\alpha$, $\alpha_{U_j}(v_j)|_{U_i\cap V_j}=\alpha_{U_i\cap U_j}(v_j|_{U_i\cap V_j})=\alpha_{U_i\cap U_j}(r_i|_{U_i\cap V_j})=\alpha_{U_i}(r_i)|_{U_i\cap V_j}$ kako je traženo.

Konačno treba pokazati da je $\beta:U\to\beta_U$ prirodna transformacija. Neka je dakle $W\hookrightarrow U$ inkluzija otvorenih skupova u $B$ i $t\in a P(U)$. Neka je $b\in W$. Tada postoji $Y^{otv}\subset W$, $Y\ni b$, $\tilde{r}|_Y= t|_W |_Y =t|_Y$. Tada po definiciji od $\beta$,

$$\beta_W(t|_W)|_Y = \alpha_Y(r_Y) = \beta_U(t)|_Y=\beta_U(t)|_W |_Y.$$

Kako je $b$ proizvoljan, slijedi $\beta_W(t|_W)=\beta_U(t)|_W$.

Analogni teorem vrijedi i za snopove s vrijednostima u nekim drugim, ali ne svim zatvorenim kategorijama. Postoji ovakvo profinjenje gornjeg teorema:

\nxsubpoint Theorem. Ulaganja kategorija

$$snopovi \hookrightarrow separirani predsnopovi \hookrightarrow predsnopovi$$

imaju lijeve adjunkte. Funktor snopifikacije $a$ je kompozicija ta dva lijeva adjunkta, a njegova restrikcija na kategoriju separiranih predsnopova je lijevi adjunkt ulaganja snopova u separirane predsnopove.

Ovaj teorem će biti dokazan kao korolar naših daljih razmatranja u ovoj i slijede'coj lekciji. No, prije toga 'cemo konstruirati lijevi adjunkt $\mathrm{sep}:\mathbf{PFas}_B\to\mathbf{sepPFas}_B$ ulaganja separiranih predsnopova u predsnopove. Za to definiramo relaciju ekvivalencije $\sim_U$ na $P(U)$ gdje $s\sim t$ akko postoji pokrivač $\{U_i\}_i$ skupa $i$ takav da $s|_{U_i}=t|_{U_i}$. Tada stavimo $(\mathrm{sep}P)(U)=P(U)/\sim_U$, te za svako ulaganje $V\hookrightarrow U$ i $s\in \tilde{P}(U)$ $s|_V$ je klasa po $\sim_V$ bilo kojeg predstavnika klase $s$ po $\sim_U$.

\nxsubpoint (\zadatak 1.2) Pokaži da je $\mathrm{sep}P$ dobro definirani separirani predsnop.

\nxpoint Propozicija. Korespodencija $P\mapsto \eta_P$, gdje je $\eta_P$ morfizam predsnopova $P$ u njegov asocirani snop $a(P)$, s komponentama $(\eta_P)_U:(s\in P(U))\to(\tilde{s}\in \Gamma_U \mathcal{L}(P))$ (gdje je preslikavanje $s\mapsto\tilde{s}$ opisano u \refpoint{sub:tilda}), je prirodna transformacija $\eta : \Id_{\mathbf{PFas}_B}\Rightarrow a$.

Dokaz. Neka je $\alpha:P\to Q$ morfizam predsnopova. Moramo pokazati da dijagram

komutira. Drugim riječima, ukoliko je $s\in P(U)$ tada $\widetilde{\alpha_U(s)}=\Gamma_U(\mathcal{L}(\alpha))(\tilde{s})$, što, ako definicije raspišemo u proizvoljnoj točki $b\in U$ vodi na tautologiju $[\alpha_U(s)]_b = [\alpha_U(s_b)]_b$.

\nxpoint Teorem. Postoji adjunkcija $\mathcal{L}\dashv \Gamma$, čija jedinica je $\eta:P\mapsto\eta_P$. Ta adjunkcija se restringira na adjungiranu ekvivalenciju

$$\mathcal{L}|_{\mathbf{Fas}_B} : \mathbf{Fas}_B \cong \mathbf{Et}_B :\Gamma|_{\mathbf{Et}_B}$$

izmedju kategorije snopova i kategorije etalnih prostora nad $B$.

Dokaz. Zadajmo komponentu kojedinice $\epsilon_{\pi_E}: \mathcal{L}\Gamma E\to E$ sa $\epsilon_{\pi_E}:[s]_b\mapsto s(b)$. Naime svaka točka u $E$ je oblika $[s]_b$ gdje je $s:U^{otv}\to E$ prerez od $\pi$, i $U^{otv}\ni b$. To je dobro definirano jer ukoliko je $[s]_b=[t]_b$ onda se $s$ i $t$ podudaraju u nekoj okolini točke $b$, dakle a fortiori u samoj točki $b$. Takodjer je očito da $\pi_F\circ\epsilon_{\pi_E}=\pi_E$ jer obe strane šalju $[s]_b$ u $b$.

Treba pokazati da su relacije (“trokuti”) adjunkcije zadovoljene. Neka je $P$ predsnop, izračunajmo kompoziciju \label{eq:adjtriP}

Neka je $[s]_b\in{\mathcal{L}}P$, tada ${\mathcal{L}}(\eta_P)([s]_b)=[\tilde{s}]_b$; nadalje $\epsilon_{{\mathcal{L}}P}([\tilde{s}]_b) = \tilde{s}(b)=[s]_b$, dakle kompozicija~() je identiteta.

Neka je, s druge strane, $E = (E\stackrel\pi\longrightarrow B)$ prostor nad $B$ i neka je $s\in\Gamma_U E$. Tada

$$(\eta_{\Gamma E})_U(s)=\tilde{s}\in \Gamma_U (\mathcal{L} \Gamma E)$$

i

$$\Gamma(\epsilon_E)(\tilde{s})(b) = (\epsilon_E\circ\tilde{s})(b) = \epsilon_E(\tilde{s}(b))=\epsilon_E([s]_b)=s(b).$$

Dakle, kompozicija

je identiteta.

Ranije smo pokazali da restrikcija $\Gamma$ na potkategoriju snopova $\mathbf{Fas}_B$ zaista prima vrijednosti u potkategoriji etalnih prostora $\mathbf{Et}_B$, i obratno, restrikcija funktora $\mathcal{L}$ na $\mathbf{Et}_B$ prima vrijednosti u $\mathbf{Fas}_B$. Treba pokazati da su dvije kompozicije restrikcija funktora izomorfne identiteti, pri čemu su izomorfizmi jedinica i kojedinica neke adjunkcije. Naravno, to 'ce biti restrikcija gore definirane adjunkcije.

Neka je dakle $E=(E\stackrel\pi\longrightarrow B)$ etalni prostor. Pokažimo da je komponenta $\epsilon_E$ izomorfizam.

\nxsubpoint (\zadatak 1.3) Komponenta u $U$ komponente u $P$ jedinice $(\eta_P)_U: P(U)\to (aP)(U)$ (dana s $s\mapsto\tilde{s}$) nije op'cenito ni injekcija ni surjekcija (nadji primjere!). Dokaži da je $\eta_P$ injekcija onda i samo onda ako je predsnop $P$ monopredsnop i surjekcija onda i samo onda ako je $P$ epipredsnop.

\nxpoint Korolar. Kategorija snopova nad $B$ je reflektivna potkategorija kategorije predsnopova nad $B$, tj. inkluzija je potpun i vjeran funktor koji ima lijevi adjunkt. Ekvivalentno, kojedinica adjunkcije $\Gamma\circ\mathcal{L}\Rightarrow Id_{\mathbf{Bun}_B}$ je izomorfizam.

\nxpoint (\zadatak 1.4) Pokaži da je morfizam etalnih prostora $j:E\to F$ nad $B$ monomorfizam u $\mathbf{Et}$ akko je injektivan kao preslikavanje totalnih skupova nad $B$ i slika $j(E)$ je otvoren podskup u $F$.