Zoran Skoda polinom

Realni brojevi čine polje

Skup realnih brojeva $\mathbb{R}$ dolazi s dvije algebarske (“računske”) operacije $+$ i $\cdot$, obje komutativne, asocijativne i s neutralnim elementima redom $0$ i $1$, svaki element ima suprotni element s obzirom na zbrajanje te svaki element osim nule ima inverz s obzirom na množenje (pa su oduzimanje i dijeljenje definirani svuda osim dijeljenja s nulom) te je konačno množenje distributivno prema zbrajanju i slijeva i sdesna. Skup s dvije algebarske operacije koje zadovoljavaju sva ta svojstva zovemo polje. Skup racionalnih brojeva, skup realnih brojeva, skup kompleksnih brojeva i skup ostataka modulo $p$, tj. razreda ekvivalencije cijelih brojeva modulo fiksiranog prostog broja $p$ primjeri su polja. Skup cijelih brojeva nije polje.

Polinomi nad poljem

Neka je sad $k$ polje, npr. polje $\mathbb{R}$ ili $\mathbb{C}$. Tada definiramo polinom u jednoj varijabli $x$ nad $k$ kao izraz oblika

$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} +\ldots + a_0$$

gdje je $n\geq 0$ prirodni broj ili $0$ i gdje $a_0,\ldots, a_n\in k$. Broj $a_i$ zovemo koeficijentom uz potenciju $x^i$, a svi umnošci oblika $a_i x^i$ zovu se članovi polinoma. Najveći $i$ takav da je $a_i\neq 0$ zovemo stupanj polinoma $P$, a pripadni koeficijent vodeći koeficijent polinoma. Koeficijent $a_0$ zovemo slobodni član polinoma (ne moramo pisati $a_0 x^0$ jer po konvenciji $x^0 = 1$). Pišemo i $P(x)=\Sigma_{i=0}^n a_i x^i$. Simbol $x$ nekad zovemo varijablom (ili, po uzoru na terminologiju jednadžbi) nepoznanicom, a polinome iz ove definicije zovemo polinomima u jednoj varijabli. Polinom koji ima samo jedan član zovemo monomom, dakle to je polinom u kojem nema znaka $+$. Polinom koji ima točno dva člana zovemo binomom i polinom koji ima tri člana zovemo trinomom. Polinom je unarni ako mu vodeći član ima koeficijent $1$. Npr. $x^3 - 7 x$ je unarni binom. Izrazi tipa $x^n$ su dakle unarni monomi u jednoj varijabli, no ponekad ih zovemo potencije. Kako se u standardnom zapisu iz definicije polinoma svaka potencija javlja točno jednom, to za svaki broj $n$ možemo reći što je koeficijent uz potenciju $x^n$.

Jednakost polinoma. Dva polinoma nad $k$ su po definiciji jednaka ako imaju jednake koeficijente uz jednake potencije (ako su stupnjevi različiti potencije koje se ne javljaju u polinomu nižeg stupnja smatramo kao potencije s koeficijentom nula).

Računske operacije s polinomima

Polinome zbrajamo tako da zbrojimo koeficijente uz jednake potencije. Polinome množimo tako da pomnožimo svaki član prvog sa svakim članom drugog polinoma, pri čemu množimo potencije kao potencije (zbrajanjem eksponenata) i koeficijente kao elemente u $k$:

$$\sum_{i = 0}^n a_i x^i \cdot \sum_{j=0}^m b_j x^j = \sum_{i = 0}^n\sum_{j=0}^m a_i b_j x^{i+j} = \sum_{k = 0}^{n+m} (\sum_{i=0}^k a_i b_{k-i}) x^k$$

Formalni znak $+$ u oznaci za polinom se podudara sa stvarnim zbrajanjem polinoma. Npr. $3 x^3 + 2 x^2 + 1 = 3 x^3 + (2 x^2 + 1)$, gdje je s lijeve strane samo polinom kao izraz, a s desne strane je zbroj monoma $3 x^3$ i binoma $2 x^2 + 1$.

Skup svih polinoma ima svojstva sličnih polju, osim što nema inverza s obzirom na množenje, tj. proizvoljna dva polinoma ne možemo dijeliti. Točnije, polinomi nad danim poljem $k$ čine komutativan prsten bez djelitelja nule, ali kako ne možemo dijeliti nije polje. Međutim, slično kao i prirodne i cijele brojeve, svaka dva polinoma možemo dijeliti s ostatkom, te na njih prenijeti Euklidov algoritam za nalaženje najveće zajedničke mjere i najmanjeg zajedničkog višekratnika. Pri dijeljenju s ostatkom određujemo vodeći član dijeljenjem vodećih članova dvaju polinoma, pa gledamo ostatak koji dalje dijelimo dok stupanj ostatka nije niži od stupnja djeljitelja. Dakle, ako su $P, Q$ polinomi, tada podijeliti $P$ polinomom $Q$ s ostatkom znači naći polinome $S$ i $R$ takve da je $P = S \cdot Q + R$ i gdje je stupanj polinoma $R$ manji od stupnja polinoma $Q$. Polinom $S$ je rezultat dijeljenja polinoma s ostatkom, a $R$ je ostatak dijeljenja. Teorem o dijeljenju polinoma s ostatkom kaže da za svaka dva nenul polinoma $P$ i $Q$ nad poljem postoje jedinstveni polinomi $R$ i $S$ takvi da $P = S \cdot Q + R$ i gdje je stupanj polinoma $R$ manji od stupnja polinoma $Q$.

Primjeri dijeljenja polinoma polinomom s ostatkom:

$$\array{ (y^4&+&y^3&+&&&y&+&1)&:&(y^2-y-1) = y^2 + 2 y + 3 \\ -y^4&+&y^3&+&y^2&&&&&& \\ \underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&&&&&& \\ && 2y^3 &+& y^2&+& y&&&& \\ && -2y^3&+&2y^2&+&2y&&& \\ \underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&&&& \\ &&&&3y^2&+&3y&+&1&& \\ &&&&-3y^2&+&3y&+&3&& \\ &&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&& \\ &&&&&&6 y&+&4&& }$$

Provjera. $(y^2+2y+3)\cdot(y^2-y-1)+6y+4 = y^4-y^3-y^2+2y^3-2y^2-2y+3y^2-3y-3+6y+4 = y^4+y^3+y+1$.

Drugi primjer.

$$\array{ (x^4&+&x^3&+&x^2&+&&&1)&:&(x^2-x-1) = y^2 + 2 x + 4 \\ -x^4&+&x^3&+&x^2&&&&&& \\ \underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&&&&&& \\ && 2x^3 &+&2x^2&+&x &&&& \\ && -2x^3&+&2x^2&+&2x&&& \\ \underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&&&& \\ &&&&4x^2&+&3x&+&1&& \\ &&&&-4x^2&+&4y&+&4&& \\ &&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&& \\ &&&&&&7 x&+&5&& }$$

Provjera.

$(x^2-x-1)\cdot(x^2+2x+4)+7x+5 = x^4+2x^3+4x^2- x^3-2x^2-4x-x^2-3x-4+7x+5 = x^4+x^3+x^2+x+1$

Polinomijalne funkcije

Neka je $P(x)$ polinom s koeficijentima u polju $k$. Tom polinomu pridružujemo funkciju $P:k\to k$ koja broju $z\in K$ pridružuje vrijednost izraza $P(z)$ u kojem $x$ supstituiramo sa $z$, a $z^i$ shvaćamo kao potenciranje u $k$ (tj. $z\cdot z\cdot z\cdots z$ $i$ puta), i $a_i z^i$ kao umnožak $a_i\cdot z^i$, a formalni $+$ shvaćamo kao $+$ u polju $k$. Npr. ako je $P(x) = x^2 - 5$ tada je $P(2/3) = (2/3)^2 - 5 = 4/9 - 45/9 = -41/9$.

Pridruživanje $P(x)\mapsto P$ je preslikavanje iz polja polinoma u skup svih funkcija iz $k$ u $k$. Ako je neka funkcija dobivena na taj način, tj. dana je polinomijalnom formulom, zovemo je polinomijalna funkcija.

Polinomi u više varijabli

Ako su $x,y,z...$ varijable, tada ih možemo množiti i dijeliti. Najmanji skup koji dobijemo od $n$ nezavisnih varijabli i brojeva u nekom polju, s dvije osnovne algebarske operacije je skup polinboma u $n$ varijabli, npr. u dvije varijable to je skup $k[x,y]$, pri čemu se smatra da varijable međusobno komutiraju pa je $x y = y x$. Primjer elementa u $k[x,y]$ nad poljem $\mathbb{R}$ je $\frac{2}{3} x^3 y + \sqrt{2}\cdot x y^7$.

Neki identiteti za polinome u više varijabli

Binomna formula: $(x+y)^n = \sum_{k = 0}^n \left(\array{ n\\k}\right) x^k y^{n-k}$ (dokazuje se matematičkom indukcijom, vidi tamo).

Trinomna formula:

$$(x + y + z)^n = \sum_{i + j + k = n} \frac{n!}{i!j!k!} x^i y^j z^k.$$

Rastav razlike istih potencija

$$x^n - y^n = (x-y)(x^{n-1} + x^{n-2}y +\ldots + y^{n-1})$$

Specijalni slučajevi te formule su za $n = 2$ rastav razlike kvadrata

$$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$$

i za $n = 3$ rastav razlike kubova

$$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + x y + y^2)$$

Rastav zbroja istih neparnih potencija – za ma koji neparni prirodni broj $n$ vrijedi

$$x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1} - x^{n-2}y +\ldots + y^{n-1})$$

gdje u drugom faktoru na desnoj strani jednakosti predznak alternira, npr. za zbroj kubova $x^3+y^3 = (x+y)(x^2 - x y + y^2)$, a za zbroj petih potencija $x^5 + y^5 = (x + y)(x^4 - x y^3 + x^2 y^2 - x y^3 + y^4)$.

Zbroj kvadrata se može rastavljati u umnožak nad poljem koje sadrži neki $i = \sqrt{-1}$ (npr. u polju kompleksnih brojeva), naime tada vrijedi

$$x^{2} + y^{2} = (x + i y) (x - i y) = (i x + y) (- i x + y).$$

Svi ti identiteti vrijede kad se za $x,y,z$ umjesto apstraktne “nepoznanice” uvrste ma koji elementi u $k$, ili u nekom skupu polinoma nad $k$.

Nultočke polinoma

Osnovni teorem algebre. Nad poljem $\mathbb{C}$ kompleksnih brojeva svaki polinom $P_n(x)$ stupnja $n\geq 1$ ima barem jedan korijen/nultočku, tj. rješenje jednadžbe $P_n(x) = 0$ u kojoj se traži rješenje s $x\in\mathbb{C}$.

Propozicija. Ako je $x_1$ korijen jednadžbe $P(x) = 0$ tada dijeljenje $P$ linearnim množiteljem $(x-x_1)$ nema ostatka i količnik je stupnja $(n-1)$.

Dokaz: po teoremu o dijeljenju polinoma s ostatkom, svaka dva polinoma $P$ i $T$ stupnjeva $n$ i $m$ možemo unutar skupa polinoma podijeliti s ostatkom, tj. napisati na jedinstven način kao $P = Q \cdot T + R$ gdje je $Q$ neki polinom (rezultat dijeljenja s ostatkom ili najveći polinomijalni količnik) stupnja $(n-m)$ i $R$ je ostatak, tj. neki polinom stupnja manjeg od stupnja polinoma $T$. Neka je $T = (x - x_1)$, tada je $R$ stupnja nula, dakle naprosto konstanta $R$. Tada gornju jednakost promatrajmo kao jednakost pripadnih polinomijalnih funkcija i izvrijednimo obje strane jednakosti u $x_1$. Tada je lijeva strana jednakosti $P(x_1) = 0$, a desna strana $Q(x_1)(x_1-x_1) + R = R$. Dakle, iz jednakosti slijedi $R = 0$ kao što smo i tražili.

Kao posljedicu osnovnog teorema algebre i te propozicije dobivamo:

Nad poljem kompleksnih brojeva svaki se unarni polinom (u jednoj varijabli) stupnja $n\geq 1$ može na jedinstven način do na poredak faktora napisati kao umnožak linearnih izraza tj. kao

$$P_n = (x - x_1)\cdot (x - x_2) \cdots (x - x_n)$$

Dokaz se provodi indukcijom po stupnju $n$. Za $n=1$ svaki unarni polinom je oblika $x - x_1$. Ako je polinom stupnja $(n+1)$ tada nađemo jednu nultočku $x_1$ i podijelomo $P_{n+1}$ s $(x-x_1)$. Po propoziciji rezultat dijeljenja je neki polinom $Q_n$ i nema ostatka tj. $P_{n+1} = Q_n\cdot (x - x_1)$, a po pretpostavci indukcije je $Q_n$ umnožak $n$ linearnih faktora, tj. $Q_n = (x - x_2)\cdots (x - x_{n+1})$. Dakle, $P_{n+1} = (x - x_1)\cdot (x - x_2) \cdots (x - x_{n+1})$. Pri tome neke nultočke mogu biti jednake. Time smo dokazali egzistenciju rastava na unarne linearne faktore. Trebamo pokazati da taj rastav zavisi jedino o poretku. Pretpostavino suprotno, da ima neki drugi rastav. Tada taj rastav ima barem jedan faktor koji se pojavljuje u njemu, a ne pojavljuje u prvom rastavu ili koji se pojavljuje više puta nego u prvom rastavu. Neka se neki $(x-a)$ pojavljuje $k$ puta. Tada možemo podijeliti početni polinom s $(x-a)^k$ bez ostatka što vidimo iz drugog rastava. No, ako gledamo prvi rastav tada najprije podijelimo s $(x-a)^r$ gdje je $r\lt k$ broj koliko puta se $(x-a)$ pojavljuje u drugom rastavu. Taj rezultat je oblika $(x-x_1)\cdots (x-x_{n-r})$ gdje su sve nultočke $x_1,x_2,\ldots, x_{n-r}\neq a$. Nakon toga, možemo podijeliti s $(x-a)^{k-r}$ bez ostatka. To je nemoguće jer uvrstivši $a$ u $(x-x_1)\cdots (x-x_{n-r})$ vidimo umnožak elemenata u $k$ koji nisu nula, pa njihov umnožak nije nula. No, ako napišemo kao količnik puta $(x-a)^{k-r}$ tada dobivamo nula! Dobili smo kontradikciju, dakle drugi zapis nije moguć. Primijetimo da smo tu suštinski koristili svojstvo da u polju $k$ po definiciji polja nemamo djelitelje nule.

Teorem. Ako su koeficijenti polinoma realni brojevi (što je posebni slučaj kompleksnih brojeva) tada ako je kompleksni broj $a + b i$ nultočka, tada je i njegov kompleksno konjugirani par $a - b i$. Drugim riječima, mogu se pojavljivati brojevi koji su ili realni ili dolaze u kompleksno konjugiranim parovima.

Na primjer, jednadžba $x^3 + 1 = 0$ ima tri rješenja: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$ i $x_3 = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$. Zaista $-1 = cos(\pi) + i sin(\pi)$ pa je po Moivreovim formulama treći korijen iz $-1$ oblika $cos(\frac{1+2k}{3}\pi) + i sin(\frac{1+2k}{3}\pi)$ gdje je $k\in \{0, 1, 2\}$, odnosno $\frac{1+2k}{3}\pi \in \{\pi/3, \pi, 5\pi/3\}$.

category: zadarmat3, zadarmat4