Zoran Skoda parametrizacije u geometriji

Neka je EE prostor ili ravnina. Krivulju zamišljamo kao interval I=(a,b)R 2I = (a,b)\subset\mathbf{R}^2 brojevnog pravca preslikanog u ravninu ili prostor, pri čemu je dozvoljeno svijanje. Obično želimo da je to preslikavanje γ:IE\gamma: I\to E neprekidno i (barem po dijelovima, tj. osim konačno mnogo šiljaka) glatko i da je barem lokalno injekcija. Interval može biti i zatvoren, tipa I=[a,b]I = [a,b]. Ukoliko je tako i γ(a)=γ(b)\gamma(a) = \gamma(b) (preslikavanje se podudara na krajevima), tada kažemo da je krivulja zatvorena – njena početna i završna točka se podudaraju, kao da smo išli nekamo i vratili se u krug.

Parametrizirana krivulja je dakle preslikavanje γ:IE\gamma:I\to E. Nekad promatramo krivulju kao sliku tog preslikavanja. S točke gledanja, možemo izabrati različite parametrizacije s istom slikom. Varijabla tt koja poprima vrijednosti u II, argument je parametrizacije i nazivamoga parametrom. Danom parametru tt odgovara element γ(t)\gamma(t) kojeg nazivamo točka na krivulji parametrizirana s tt.

Uvedemo li Kartezijev koordinatni sustav na EE s ishodištem kojeg označimo s OO, tada točka γ(t)\gamma(t) ima svoj radijusvektor r(t)=Oγ(t)\vec{r}(t) = \vec{O\gamma(t)}, koji pak ima svoje komponente. Recimo, u 3 dimenzionalnom slučaju, r(t)=(x(t),y(t),z(t))\vec{r}(t) = (x(t),y(t),z(t)).

Slika parametrizirane krivulje je pravac, ako i samo ako su komponente afine funkcije, pri čemu barem jedna nije konstanta i interval je cijeli R\mathbf{R}. Afine funkcije su funkcije oblika tat+bt\mapsto a t + b i u našem slučaju barem za jednu komponentu vrijedi a0a\neq 0.

p(t)=(2t,t1)\vec{p}(t) = (2 t, t -1) je primjer pravca u koordinatnoj ravnini, a r(t)=(3t5,t+8,4t)\vec{r}(t) = (3t-5,-t+8,-4t) primjer pravca u 3d prostoru. Možemo pisati i to kao sustav

x(t)=3t5 y(t)=t+8 z(t)=4t\array{ x(t) = 3 t - 5\\ y(t) = -t + 8\\ z(t) = -4t }

Općenito o jednadžbama pravaca u prostoru vidi moj video yt:0u3EYjsraYI

Funkcije u neku kodomenu koja je neki skup vektora (ovdje radijusvektora) možemo zvati vektorskim funkcijama. Dakle, parametrizirane krivulje su vektorske funkcije zadane na intervalu.

Primjer parametrizirane krivulje je jedinična kružnica s centrom u ishodištu,

x(θ)=cos(θ) y(θ)=sin(θ)\array{ x(\theta) = cos(\theta)\\ y(\theta) = sin(\theta) }

gdje je θI=[0,2π]\theta \in I = [0,2\pi] mjera kuta između pozitivne poluosi osi xx i radijusvektora točke na kružnici (vidi trigonometrijske funkcije). Ako želimo da kružnica ima radijus R1R\neq 1 tada reskaliramo, a ako je njeno središte s koordinatama (x 0,y 0)(x_0,y_0) tada koordinatama dodajemo radijus vektor tog središta

x(θ)=Rcos(θ)+x 0 y(θ)=Rsin(θ)+y 0\array{ x(\theta) = R cos(\theta) + x_0\\ y(\theta) = R sin(\theta) + y_0 }

U paketu geogebra, krivulju [a,b]R 2,t(x(t),y(t))[a,b]\to\mathbf{R}^2, t\mapsto (x(t),y(t)) zadajemo sa

Curve(x(t),y(t),t,a,b)

Sam parametar se može reskalirati, tako da će slika te krivulje biti ista ako je zadamo sa, recimo,

Curve(x(t/2),y(t/2),t,2 a, 2 b)

Na primjer kružnicu sa središtem u točki (3,4)(3,4) i polumjera R=2R = 2 zadajemo sa Curve(2 cos(t)+3,2 sin(t)+4).

Krivulju u prostoru zadajemo u obliku

Curve(x(t),y(t),z(t),t,a,b).

Na primjer, spirala u gornjoj poluravnini, koja se podiže u smjeru zz osi kojoj je projekcija u xyx y-ravninu kružnica radijusa 33 i koja se kod svakog punog kruga (porast parametra za 2π2\pi) popne za 5, i 5 puta se omota do kraja intevala, se može zadati sa

Curve(3cos(t),3sin(t),52πt,t,0,10π)Curve(3 cos(t), 3 sin(t), \frac{5}{2\pi} t, t, 0, 10\pi)

Slično možemo promatrati plohe koje su slika male krpice u ravnini, recimo pravokutnika I 2=[a,b]×[c,d]R 2I^2 = [a,b]\times[c,d]\subset\mathbf{R}^2. Takve parametrizirane plohe su dane vektorskom funkcijom para argumenta u[a,b]u\in[a,b] i v[c,d]v\in[c,d] koji je ekvivalentan jednom parametru u I 2I^2. Na primjer, možemo promatrati parametriziranu sferu radijusa RR sa središtem u ishodištu

x(t)=Rsin(u)cos(v) y(t)=Rsin(u)sin(v) z(t)=Rcos(v)\array{ x(t) = R sin(u) cos(v)\\ y(t) = R sin(u) sin(v)\\ z(t) = R cos(v) }

gdje je u[0,π]u\in[0,\pi], v[0,2π]v\in[0,2\pi]. Geometrijski uu interpretiramo kao mjeru neorijentiranog kuta između jediničnog vektora k\vec{k} u smjeru pozitivne poluosi osi zz i radijus vektora točke na sferi. Geometrijski vv interpretiramo kao mjeru orijentiranog kuta između jediničnog vektora i\vec{i} u smjeru osi xx i projekcije radijus vektora na ravninu xyx y. Duljina te projekcije je Rsin(u)R sin(u).

Ma koja ravnina u R 3\mathbf{R}^3 se može parametrizirati u obliku vektorske funkcije čije komponente su afine realne funkcije dva realna argumenta. Drugim riječima, R 2(u,v)(d xu+e xv+C x,d yu+e yv+C y,d zu+e zv+C z)R 2\mathbf{R}^2\ni (u,v)\mapsto (d_x u + e_x v + C_x, d_y u + e_y v + C_y, d_z u + e_z v + C_z)\in\mathbf{R}^2 gdje je barem jedan od tri broja d x,d y,d zd_x,d_y,d_z različit od nule, i barem jedan od tri broja e x,e y,e ze_x,e_y,e_z različit od nule. Ako jedan ili oba uvjeta neiščezavanja ne vrijede onda efektivno nestane jedan ili oba parametra i ravnina se degenerira u točku. Ako stavimo (u,v)=(0,0)(u,v) = (0,0) tada vidimo da, među ostalim, točka C=(C x,C y,C z)C = (C_x,C_y,C_z) leži na parametriziranoj ravnini. Za (u,v)=(1,0)(u,v) = (1,0) dobijemo da A=(d x+C x,d y+C y,d z+C z)A = (d_x + C_x, d_y + C_y, d_z + C_z) također leži na toj ravnini te za (u,v)=(0,1)(u,v) = (0,1) dobijemo da i B=(e x+C x,e y+C y,e z+C z)B = (e_x + C_x, e_y + C_y, e_z + C_z) leži na toj ravnini. Obratno, ako su A=(A x,A y,A z)A = (A_x,A_y,A_z), B=(B x,B y,B z)B = (B_x,B_y,B_z) i C=(C x,C y,C z)C = (C_x,C_y,C_z) tri nekolinearne točke tada zadajmo parametrizaciju ravnine kroz te tri točke gornjim formulama s d x=A xC xd_x = A_x - C_x, d y=A yC yd_y = A_y - C_y, d z=A zC zd_z = A_z - C_z, e x=B xC xe_x = B_x - C_x, e y=B yC ye_y = B_y - C_y i e z=B zC ze_z = B_z - C_z. Dakle d=CA\vec{d} = \vec{C A}, e=CB\vec{e} = \vec{C B}. Ma koja točka na ravnini se dobije tako da krenemo iz točke CC i translatiramo za uCA+vCBu\vec{C A} + v\vec{C B}, za toj točki jedinstvene odgovarajuće vrijednosti parametara u,vRu,v\in\mathbf{R}.

category: zadarmat3, zadarmat4

Last revised on February 1, 2023 at 15:38:47. See the history of this page for a list of all contributions to it.