Zoran Skoda mat1-011220

Razmjerne veličine, nastavak

Nastavljamo na jučerašnju lekciju, mat1-301120.

Obrnuto razmjerne veličine: njihov umnožak ne ovisi o parametru

Deset radnika za 15 dana napravi 100 metalnih šipki.

Koliko dana trebaju provesti 5 radnika da napravimo isti posao ?

$10 \cdot 15 = 5 \cdot x$

$x = 150/5 = 30$

Smjese i udjeli

Udio je OMJER neke specifične tvari u smjesi nekoliko tvari.

Koliko šećera ima u kili kolača ?

JEDINICE: količina je omjer sa jediničnom količinom jer je ne možemo brojiti ali je homogena

Zadatak: Janko miješa dvije različite rakije. Jedna u sebi ima 40% alkohola, a druga ima 55% alkohola. Ako pomiješa dvije boce slabije i jednu bocu jače rakije, koliko je jaka smjesa ?

Ukupno rakije = 3 litre rakije

Ukupno alkohola = 40% puta 2 litre + 55% puta jedna litra

            = 40/100 puta 2 + 55/100 puta 1

            = 80/100 + 55/100 = 135/100 

Udio = (135/100)/3 = 135/300 = 135/3 %

Decimalni brojevi

Sjetimo se dekadskoga zapisa prirodnih brojeva,

$$(135)_{(10)} = 1 \cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0$$

Mi ćemo proširiti takve sume na novi tip brojeva koje ćemo zvati decimalnim brojevima. Radi toga najprije uvodimo izraze $10^{-1}, 10^{-2},10^{-3}$ itd. Ti izrazi su posebni slučajevi potencija s negativnim eksponentom.

Potencije s negativnim eksponentom definiramo kao recipročne vrijednosti potencija s istom bazom i s eksponentom koji je apsolutna vrijednost zadanog negativnog eksponenta. Drugim riječima, za $n\in\mathbf{N}$ definiramo $a^{-n} := 1/a^n$ gdje je $a\in\mathbf{Q}, a\gt 0$. Na primjer,

$10^{-3} = 1/10^3 = 1/1000$ jer je $10^3 = 10 \times 10 \times 10$. S druge strane, $10^0 = 1$.

Konačni decimalni broj $144.216$ označava racionalni broj

$$144.216 := 1 \cdot 10^2 + 4\cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 + 2 \cdot 10^{-1} + 1 \cdot 10^{-2} + 6 \cdot 10^{-3}$$

to je zadano kao zbroj racionalnih brojeva, dakle racionalni broj!

$$a^b \cdot a^c = a^{b+c}$$

$$\frac{a/b}{c/d} = (a/b)\cdot(d/c) = \frac{a d}{b c}$$

zajednički nazivnik je $10^3 = 1000$

$$10^2: 10^{-3} = 10^2/(1/10^3) = 10^5$$

$$(1\cdot 10^5 + 4 \cdot 10^4 + 4\cdot 10^3 + 2\cdot 10^2 + 1 \cdot 10^1 + 6\cdot 10^0)\cdot 10^{-3}$$

$$= 144216 \cdot 10^{-3} = 144216/10^3 = 144216/1000 = 144 + 216/1000$$

Taj broj 144 + 216/1000 zapisujemo 144.216. Takve zapise zovemo konačnim decimalnim brojevima.

$$2/7 = 20/7 \cdot 10^{-1} = (2+6/7)\cdot 10^{-1} = 0.2 + 6/70$$

$$6/70 = 600/70 \cdot 10^{-2} = 8\cdot 10^{-2} + 4/7 \cdot 10^{-2}$$

Pa je

$$2/7 = 0.2 + 0.08 + 4/7\cdot 10^{-2} = 0.28 + 4/7\cdot 0.01$$

$$2/7 = 0.285714285714285714285714\ldots$$

periodički beskonačni decimalni broj

$$2/7 = 0.285714 + 2/7 \cdot 10^{-6}$$

Periodički znači da se neka konačna sekvenca (slog znamenki) ponavlja.

Možemo gledati i obrnuti problem. Kako zadani beskonačni decimalni broj zapisati kao razlomak.

x = 0.1313131313… koji je to razlomak

$$x = 0.13 + 0.001313... = 13/100 + x/100$$

jednadžba za x

$$x - x/100 = 13/100$$

$$x(1- 1/100)=13/100$$

$$x(100/100-1/100) = 13/100$$

$99/100 \cdot x = 13/100$, pomnožimo sa $100/99$

$$x = (100/99)\cdot(13/100) = 100\cdot 13/(100\cdot 99) = 13/99$$

Što ako prije dijela koji se ponavlja ima i nenul dio zadanog decimalnog broja koji se ne ponavlja ? Na primjer,

2.213131313…

2.2 + 0.0131313… = 2.2 + y = 2.2+0.013 + 0.00013… = 2.213 + y/100

y = 0.013 + y/100

y = 13/990

$$22/100 + 13/990 = (22\cdot 99+130)/9900= 2208/9900 = 552/2225$$

razlomci se mogu napisati kao konačni decimalni brojevi ili kao beskonačni decimalni brojevi s ponavljanjem

$$1- 0.9999999999\ldots = 0$$

$$\array{y = 0.9 +y/10 \\ y - y/10 = 9/10 \\ y(1-1/10) = 9/10 \\ y\cdot 9/10 = 9/10 \\ y = 1 \\ 2.5699999999\ldots = 2.57 }$$

beskonačni decimalni broj = konačni broj + dio iza decimalne točke koji je beskonačni niz znamenki

i sad samo nule na kraju kao da ih nema (kao da je konačan decimalni)

i ako smo 9-ke na kraju kao da smo povećali znamenku prije toga za 1

29.999…=30 9.9999…=10

Što ako su decimalni brojevi neperiodički ? Npr. nešto tipa

189748896451.17492189748278971284…

realni brojevi: decimalni brojevi gdje iza decimalne točke ne moramo ponavljati sekvencu kao kod racionalnih brojeva; pri tome konačne decimalne brojeve poistovjećujemo s beskonačnim gdje su na kraju samo nule i ako su na kraju samo 9-ke, zaokružujemo na više prvu znamenku koja nije nula.

$\mathbf{N}$ podskup od $\mathbf{Z}$ podskup od $\mathbf{Q}$ podskup od $\mathbf{R}$.

Pojam niza.

Niz (slijed) elemenata od $S$ je funkcija iz skupa prirodnih brojeva u skup $S$.

Primjer: aritmetički niz.

Primjer: geometrijski niz (omjer dva susjeda je stalan)

Primjer: omjer je 2, a počnemo brojem 1

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16184, 32368, 64736…

Primjer: omjer je 2, a počnemo brojem 3

3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768…

Općenito, $a_1 = a, a_2 = a q, a_3 = a q^2,\ldots$, dakle imamo geometrijski niz $a, aq, aq^2, a q^3,\ldots,a q^{n-1},\ldots$

Tvrdnja: Zbroj prvih $n$ članova geometrijskog niza

$$a + a q + a q^2 + ... + a q^{n-1} = a (1 + q + q^2 + ... + q^{n-1})$$

$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$

pa je $1 - q^2 = (1-q)(1+q)$

$$\array{a^3 - b^3 &=& (a-b)(a^2+a b+ b^2) \\ &=& a^3 - b a^2 + a^2 b -b a b + a b^2 - b^3 \\ &=& a^3 - b^3 }$$

1 - q^3 = (1-q)(1 + q + q^2)

$$1 - q^n = (1-q)(1 + q + q^2 +...+ q^{n-1})$$

Dokaz: matematičkom indukcijom

Baza indukcije: $n = 1$, $1-q ? = (1-q)\cdot (1)$ OK

Korak indukcije: ako vrijedi za n pretpostavka

$$1 - q^n = (1-q)(1 + q + q^2 +...+ q^{n-1})$$

da li vrijedi za $n+1$ ?

$$1 - q^{n+1} ?= (1 - q)(1 + q + ... + q^{n-1} + q^n)$$

Izračunajmo desnu stranu, tako da rastavimo desnu zagradu na dva dijela, prvi dio je prvih $n$ članova, i onda još zadnji član i koristimo distributivnost množenja prema zbrajanju slijeva. Dobivamo,

$$(1 - q)(1 + q + ... + q^{n-1}) + (1-q)q^n$$

po pretpostavki indukcije to je jednako

$$1 - q^n + q^n - q^{n+1} = 1 - q^{n+1}$$

kao što smo trebali dokazati.

To znači da je

$$1 + q + ... + q^{n-1} = (1-q^n)/(1-q) = (q^n-1)/(q-1)$$

Za geometrijski niz, zbroj prvih n članova je

$$s_n = a (1-q^n)/(1-q) = a(q^n-1)/(q-1)$$

Idemo to na primjeru niza 1,2,4,8,16,32,…

Primjer, $a = 1, q= 2, n = 10$

zbroj prvih 10 članova tog geometrijskog niza je

$1\cdot (2^10-1)/(2-1) = 1023$

$a = 2$, $q = 3$, $n=6$

$$2 \cdot (3^6-1)/(3-1) = 27^2-1 = (540+189)-1 = 728$$

Tvrdnja: $(a^b)^c = a^{b c}$. Zaista, lijeva strana je

$$a^b \cdot a^b \cdot a^b \cdots a^b$$

gdje se $a^b$ u umnošku pojavljuje $c$ puta. Dakle imamo, izraz

(a a a a a)(a a a a a)…(a a a a a)

U svakoj zagradi imamo $a$ pomnoženo $b$ puta i imamo $c$ takvih skupina u zagradama, dakle ukupno se u umnošku broj $a$ pojavljuje $b\times c$ puta, dakle izraz je jednak $a^{b\cdot c}$.

Oprez! To nije isto što i $a^{b^c}$. Po definiciji, potenciranje je “operacija višeg reda u odnosu na zbrajanje pa pod $a^{b^c}$ podrazumijevamo $a^{(b^c)}$, tj. da potenciramo eksponent $b$ na $c$ i tek onda potenciramo $a$ na novonastali eksponent $b^c$.

$2^{10^3} = 2^1000$ je mnogo veće od $(2^10)^3 = 2^{30}$.

Pitagora: Racionalan broj $a$ takav da je $a\cdot a = 2$ ne postoji (drugim riječima, drugi korijen iz 2, kojeg zapisujemo simbolički $\sqrt{2} ={}^2\sqrt{2}$, nije racionalan broj).

Podsjetnik: korjenovanje je inverzna funkcija od funkcijj kvadriranja (na skupu nenegativnih brojeva). Npr. $3\cdot 3 = 9$ dakle $3$ je drugi korijen od $9$. Slično je $n$-ti korijen ${}^n\sqrt{b}$ broj $a$ takav da $a^n = 1$. Simbolički,

$$({}^n\sqrt{b})^n = b.$$

Pretpostavimo da postoji racionalni broj čiji kvadrat je 2. Svaki racionalni broj se da potpuno skratiti kao razlomak. Dakle taj broj je p/q gdje su p i q prirodni brojevi koji su relativno prosti.

$$(p/q)(p/q) = 2$$

$$p^2/q^2 = 2$$

Dakle $p^2 = 2 q^2$, što je paran broj.

Tvrdnja: onda p mora biti paran! Naime ako je paran, tada $p = 2 k$, $p^2 = 4 k^2$ što jest parno, a da nije paran, tada bi bilo $p = 2k+1$ za neki prirodni broj $k$, pa $p^2 = (2 k+1)^2 = 4 k^2 + 4 k + 1 = 2(k^2+k) +1$ dakle neparan broj.

Sad je $p^2 = (2 k)^2 = 4 k^2 = 2 q^2$, ako to podijeli mo s $2$ izlazi $2 k^2 = q^2$ što je paran broj pa na isti način kao i gore dobijamo da $q$ mora biti paran.

Sad smo u problemu. $p$ je djeljiv s 2 i $q$ je djeljiv s $2$, znači $p$ i $q$ imaju neku zajedničku mjeru $2\neq 1$ pa razlomak $p/q$ nije potpuno skraćen, suprotno pretostavki.

Znači pretpostavka je nemoguća. NEMA racionalnog broja koji na kvadrat daje 2! Zato uvodimo realne brojeve koji nisu racionalni. Takve realne brojeve zovemo iracionalni i oni su predstavljeni decimalnim brojevima koji nisu niti konačni decimalni niti beskonačni periodički, dakle ne mogu se dobiti kao razlomci.

Pitagorin teorem: u pravokutnom trokutu kvadrat duljine hipotenuze je jednak zbroju kvadrata duljina kateta

Kvadrat razdijelite po dijagonali na dva pravokutna trokuta i dijagonala je točno hipotenuza, stranice kvadrata su 1 i 1 i one su katete pa je duljina hipotenuze korijen od $1^2+1^2 = 1+1 = 2$.

category: zadarmat1