Zoran Skoda logaritam

Logaritamska funkcija $x\mapsto log_a(x)$ s bazom (koja je pozitivni realni broj) $a$ je inverzna eksponencijalnoj funkciji $x\mapsto a^x$ s istom bazom $a$. Ako je $a\gt 1$ tada je logaritamska funkcija strogo uzlazna funkcija $log_a : \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ koja je negativna za brojeve strogo između $0$ i $1$. Samim time što vidimo da je strogo uzlazna (recimo, kao inverz strogo uzlazne) to je injekcija. Ako je $0\lt a\lt 1$ tada je $log_a: \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ strogo silazna funkcija, koja je negativna za brojeve strogo veće od $1$.

Dakle, logaritam $log_a x$ pozitivnog realnog broja $x$ po bazi $a$ je broj na koji moramo potencirati bazu $a$ da bi dobili $x$. To možemo izreći definicijskom formulom

$$a^{log_a(x)} = x$$

Ako označimo $p = log_a(x)$ tada ta jednakost glasi $a^p = x$ pa dakle $p = log_a(a^p)$. Npr. $log_3(81) = log_3(3^4) = 4$.

Npr. $2^3 = 8$ znači da je $3=log_2 8$. Slično, $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9$ znači da $log_{1/2}9 = -2$. Iz definicije $log_a a^p = p$ je očito pri promatranju slučajeva $p = 0,1,-1$ da za svaki $a\gt 0$ vrijedi

$$log_a 1 = 0,\,\,\,\,\,\,\,log_a a = 1,\,\,\,\,\,\,\,log_a \frac{1}{a} = log_{1/a}a = -1.$$

Jedna vrijednost je očita

$a^x\cdot a^y = a^{x+y}$, dobivamo za $x = log_a(A)$ i $y = log_a(B)$ da ke

$$A\cdot B = a^{log_a(A)}\cdot a^{log_a(B)} = a^{log_a(A)+log_a(B)},$$

i ako lijevu i desnu stranu logaritmiramo dobivamo

$$log_a(A\cdot B) = log_a(A)+log_a(B)$$

dakle, logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama (s istom bazom).

Slično,

$$log_a\left(\frac{A}{B}\right) = log_a A - log_a B,$$

dakle, logaritam količnika jednak je razlici logaritama (s istom bazom). Ako je $A =1$ to nam daje $log_a \frac{1}{B} = - log_a B$. Npr. $log_2 8 = 3$, $log_2 \frac{1}{8} = -3$. Primijeti da također $log_{1/2} 8 = -3$.

Logaritam potencije se može izračunati kao eksponent pomnožen logaritmom baze. Zaista,

$$a^{r log_a(b)} = (a^{log_a(b)})^r = b^r = a^{log_a(b^r)}$$

pa, kako je eksponencijalne funkcija injekcija, vrijedi $r log_a(b) = log_a(b^r)$.

Logaritmi s različitim bazama se mogu uspoređivati. Naime, za eksponencijalnu funkciju vrijedi $(a^x)^y = a^{x\cdot y}$ (potenciju potenciramo tako da je svedemo na jednostavnu potenciju koja ima istu bazu kao i početna potencija, a eksponent je umnožak eksponenata). Dakle, ako je $a^x = A$, tj. $x = log_a A$, tada je $a^{x\cdot y} = (a^x)^y = A^y$. Iz tog slijedi da $y = log_A A^y$, $(log_a A) y = x y = log_a A^y$ dakle

$$log_a B = log_A B \cdot log_a A$$

jer svaki pozitivni broj $B$ možemo napisati kao $A^y$ za neki $y$.

To znači da su logaritmi istog broja za različite baze $a$ i $A$ povezani reskaliranjem (dakle pomnožimo) s konstantom $log_a A$.

Možemo do istog rezultata doći i ovako. Primijetimo da ako $log_{b^s} x = a$ tada $b^{s a} = (b^s)^a = x$ pa je $log_b x = s a$. Dakle $log_{b^s} x = \frac{1}{s} log_b x$ (to je isto kao i gornje formule, jer $s = log_b b^s$ i $\frac{1}{s} = log_{b^s} b$) pa npr. $log_2 7 = 5 log_{2^5} 7$, tj. $log_{2^5} 7 = \frac{1}{5}log_2 7$.

Posebno je važan logaritam s bazom $e = 2,7182818...$ koji zovemo prirodni logaritam i označavamo ga s $ln(x) = log_e(x)$.

Broj $e$ je zbroj

$$e = 1 + \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\ldots$$

gdje $n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1$ označava funkciju faktorijela.

Primjeri.

$$log_4 8 = log_4 2^3 = log_4 (4^{1/2})^3 = log_4 4^{3/2} = 3/2$$

$$2^{log_4 6} = (4^{1/2})^{log_4 6} = 4^{\frac{1}{2} log_4 6} = 4^{log_4 6^{1/2}} = 6^{1/2} = \sqrt{6}$$

Tu smo koristili samo supstituciju $2 = 4^{1/2}$ i pravila potenciranja potencije i logaritmiranja potencije.

Alternativno (vidi gore reskaliranje), možemo koristiti $log_{2^s} x = \frac{1}{s} log_2 x$ pa

$$2^{log_4 6} = 2^{log_{2^2}(6)} = 2^{\frac{1}{2}log_2 6} = 2^{log_2 6^{1/2}} = 6^{1/2} = \sqrt{6}$$

category: zadarmat3