Zoran Skoda kompleksni broj

Polje kompleksnih brojeva

Kompleksni brojevi uvedeni su da bi jednadžba $x^2 = -1$ i, općenitije, jednadžba $x^2 = -a$, gdje je $a\gt 0$ ma koji pozitivni realni broj, imala rješenja, a da su pravila računanja s takvim proširenim skupom koji sadrži realne brojeve i dalje ista (npr. komutativnost množenja, distributivnost množenja prema zbrajanju). Kako je kvadrat svakog realnog broja pozitivan ili nula takvih rješenja nema u skupu realnih brojeva. Ako je $i^2 = -1$ tada je i $(-i)^2 = -1$ te $(i\sqrt{a})^2 = i^2 \cdot a = - a$, ako su svojstva računskih operacija u kojima se uz realne brojeve pokazuje i broj $i$ ista kao u polju realnih brojeva.

Kompleksni brojevi su formalni izrazi oblika $a+b i$ gdje su $a,b\in\mathbb{R}$ (u kojima je $i$ samo simbol), za koje definiramo slijedeće operacije zbrajanja i množenja:

$$(a+b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$$

$$(a + b i)\cdot(c + d i) = (a\cdot c - b\cdot d) + (a\cdot d + b\cdot c) i$$

Ta definicija množenja je nužna ako pretpostavimo $i^2 = -1$, definiciju zbrajanja i svojstvo distributivnosti množenja prema zbrajanju. Naravno, pri tome smo pretpostavili da je $+$ u simbolu kompleksnog broja jednak zbrajanju u smislu da ako identificiramo $a = a + 0 i$ i $i = 0 + 1 i$ tada je $a+b i$ identificiran s $(a + 0 i) + (0 + b i)$. Realni broj $a = Re(a+b i)$ zovemo realni dio, a realni broj $b = Im(a + b i)$ imaginarni dio kompleksnog broja $a + b i$. Primijetite da su i realni dio i imaginarni dio kompleksnog broja realni brojevi! Simbol $i$ zovemo imaginarna jedinica. Pozitivna vrijednost korijena $\sqrt{a^2+b^2}$ zove se apsolutna vrijednost kompleksnog broja $a+ b i$ i označava $|a + b i|$.

Skup svih kompleksnih brojeva označavamo s $\mathbf{C}$. Zbrajanje i množenje su svuda definirane funkcije s Kartezijevog kvadrata (skupa uređenih parova) $+,\cdot:\mathbf{C}\times\mathbf{C}\to\mathbf{C}$, $+:(z,w)\mapsto z+w$, $\cdot:(z,w)\mapsto z\cdot w$; kažemo da su to binarne algebarske operacije na skupu $\mathbf{C}$ i da je taj skup zatvoren s obzirom na te operacije (zatvoren se odnosi na “svuda definirane”, tj. za sve uređene parove). Broj $1 = 1 + 0 i$ je neutralni element s obzirom na množenje, odnosno $1\cdot z = z = z\cdot 1$ za svaki $z\in\mathbf{C}$. Broj $0 = 0 + 0 i$ je neutralni element s obzirom na zbrajanje, odnosno $0+ z = z = z+ 1$ za svaki $z\in\mathbf{C}$. Obje operacije su asocijativne, $(a+b)+c = a +(b+c)$, zbrajanje je komutativno ($z+w = w+z$) i svaki broj $z$ ima suprotni element, tj. inverz $-z$ s obzirom na zbrajanje, određen svojstvom $z + (-z) = 0 = (-z) + z$. Vrijedi i distributivnost množenja prema zbrajanju zdesna i slijeva. Nabrojena svojstva znače da je $\mathbf{C}$ prsten. Kažemo da je taj prsten komutativan, jer je množenje komutativno, $z\cdot w = w\cdot z$.

$(\mathbf{C},+,\cdot,0,1)$ je zapravo komutativan prsten s dijeljenjem, u drugoj terminologiji polje. To znači da svaki broj $w\neq 0$ ima dvostrani inverz $w^{-1}$ i s obzirom na množenje, određen svojstvom $w\cdot w^{-1} = 1 = w^{-1}\cdot w$. Inverz kompleksnog broja $0\neq z = x + y i$ je broj

$$z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} + \frac{-y}{x^2+y^2}i,$$

što se lako provjeri direktnim množenjem s $x+y i$. To da broj $w\neq 0$ ima inverz znači da možemo njime dijeliti, naime ako definiramo $z/w = z\cdot w^{-1}$ tada zbog asocijativnosti vrijedi

$$(z/w)\cdot w = (z\cdot w^{-1})\cdot w = z\cdot (w^{-1}\cdot w) = z\cdot 1 = z.$$

U slijedećem odjeljku prikazan je malo drukčiji pristup dijeljenju, bez da se oslanja na međukorak s inverzom.

Uz gornju definiciju zbrajanja i množenja dakle skup $\mathbb{C}$ svih kompleksnih brojeva ima sva svojstva polja i proširuje polje $\mathbb{R}$ realnih brojeva ako, kao i maloprije, smatramo realni broj $a\in\mathbb{R}$ identificiranim s kompleksnim brojem $a + 0 i$.

Često se zapravo formalni izraz $a+ b i$ promatra kao uređeni par $(a,b)\in\mathbb{R}^2$. Dakle nije potrebno posebno uvoditi imaginarnu jedinicu nego govorimo o običnim uređenim parovima. No, pravila množenja i zbrajanja za takve parove treba ipak zadati. To su operacije $(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)$ i $(a,b)\cdot(c,d) = (a c-b c, a d+b c)$ i one definiraju polje kojem je jedinica $(1,0)$, a čija nula je $(0,0)$. Realni broj $\lambda$ se pojavljuje kao uređeni par $(\lambda,0)$. Naravno, potrebno je dosta provjeravanja da se uvjerimo da svojstva polja vrijede za skup uređenih parova $\mathbb{R}^2$. U tim terminima je imaginarna jedinica izvedena kao $i = (0,1)$ (zaista, $i^2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1$) i vrijedi jednakost $\mathbb{C} = \mathbb{R}^2$ kao skupa. To je logički bolje jer tada $+$ znači samo $+$, a ne ujedno i notaciju unutar kompleksnog broja (gore smo mogli to izbjeći uvođenjem dva različita plusa, i pokazati kao i prije da se jednakosti ne mijenjaju ako formalni plus zamijenimo stvarnim), ali to je manje motivirano.

Kako vrijedi $i^2 = -1$ to je $i^4 = i^2\cdot i^2 = (-1)\cdot(-1) = 1$ te $i^3 = i^2\cdot i = -i$, $i^{-2} = \frac{1}{i^2} = \frac{1}{-1} = -1$. Općenito, $i^{4k} = 1$, $i^{4k+1} = i$, $i^{4k+2} = -1$ i $i^{4k+3} = -i$ za sve cijele $k\in\mathbb{Z}$.

Dijeljenje kompleksnih brojeva

Ako su $z$ i $w$ dva kompleksna broja tada je njihov količnik $\frac{z}{w}$ kompleksni broj takav da je $w\cdot\frac{z}{w} = z = \frac{z}{w}\cdot w$ ukoliko taj broj postoji i ukoliko je jedinstven. Pokazat ćemo da ako $w\neq 0$ tada takav (kompleksni) broj postoji i jedinstven je. (Naravno, ako su oba nula onda svaki broj zadovoljava gornje svojstvo osim jedinstvenosti, pa je dakle $\frac{0}{0}$ neodređeni izraz) Drugim riječima, možemo podijeliti ma koji kompleksni broj sa svakim drugim osim s nulom.

Način kako to dokazujemo i praktički računamo sličan je postupku racionalizacije nazivnika u tretmanu algebarskih izraza gdje koristimo identitet (pomnožite svaki sa svakim i zbrojite, ili koristite formulu za razliku kvadrata $x^2 - y^2 = (x - y)(x+y)$)

$$(a + \sqrt{b})(a- \sqrt{b}) = a^2 - b$$

Pa je na primjer,

$$\array{ \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{2-\sqrt{3}}\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} &=& \frac{2+\sqrt{3}}{2^2 - 3} \\ &=& \frac{2 + \sqrt{3}}{1} = 2+\sqrt{3} }$$

Time smo postigli da u nazivniku više nema korijena (nama je nazivnik slučajno ispao $1$).

Kod kompleksnih brojeva, slično tome, raspisivanjem lako dobijemo formulu za zbroj kvadrata,

$$(x + i y)(x - i y) = x^2 - i^2 y^2 = x^2 + y^2,$$

pa dakle kad god $w_1 + i w_2 \neq 0$ mi bismo trebali imati

$$\array{ \frac{z_1 + i z_2}{w_1 + i w_2} &=& \frac{z_1 + i z_2}{w_1 + i w_2}\frac{w_1 - i w_2}{w_1 - i w_2}\\ &=& \frac{(z_1 w_1- z_2 w_2) + i (z_1 w_2 + z_2 w_1)}{w_1^2 + w_2^2} \\ &=& \frac{z_1 w_1- z_2 w_2}{w_1^2 + w_2^2} + i \frac{z_1 w_2 + z_2 w_1}{w_1^2+w_2^2} }$$

Taj rezultat zaista ima svojstvo količnika koje smo htjeli,

$$\left(\frac{z_1 w_1- z_2 w_2}{w_1^2 + w_2^2} + i \frac{z_1 w_2 + z_2 w_1}{w_1^2+w_2^2}\right)(w_1 + i w_2) = z_1 + i z_2.$$

Preporučam čitatelju da pomnoži izraze na lijevoj strani i stvarno vidi da se dobiva desna strana (nakon kraćenja brojnika i nazivnika u razlomcima).

Primjer.

$$\array{ \frac{2+i}{3 - 2 i} &=& \frac{(2+i)(3+2 i)}{(3-2 i)(3+2 i)} \\ &=& \frac{6 + 4 i + 3 i + 2 i^2}{3^2+2^2} \\ &=& \frac{4 + 7 i}{13} = \frac{4}{13} + \frac{7}{13}i }$$

Dakle, realni dio kvocijenta je $\frac{4}{13}$, a imaginarni dio $\frac{7}{13}$.

Drugi korijen iz kompleksnog broja

Svaki kompleksni broj $z = x+ y i$ osim nule ima dva druga korijena, tj. kompleksnih brojeva $w$ takvih da $w^2 = z$. Zaista,

$$(u+ v i)^2 = u^2 + 2 u v i + (v i)^2 = (u^2 - v^2) + 2 u v i$$

pa uvjet $w^2 = z$ možemo pisati kao

$$(u^2 - v^2) + 2 u v i = x + y i$$

gdje su $u,v,x,y$ realni brojevi. Dva su kompleksna broja jednaka ako su njihovi realni dijelovi jednaki i njihovi imaginarni dijelovi jednaki. Dakle, vrijedi

$$u^2 - v^2 = x,\,\,\,\,\,\,\,2 u v = y.$$

Mi tvrdimo da ako $z\neq 0$ taj sustav dvije jednadžbe s dvije nepoznanice $u$ i $v$ ima točno dva rješenja u kojima su $u$ i $v$ realni. Ako su $u$ i $v$ oba $0$ onda je kvadrat $0$, što ne razmatramo. Dakle ili $u$ ili $v$ je različit od nule. Recimo da je $u\neq 0$. Tada vrijedi $v = y/(2 u)$, što nakon uvrštavanja u prvu jednadžbu govori $u^2 - y^2/(4 u^2) = x$, što je nakon množenja s $4 u^2\neq 0$ daje ekvivalentnu jednadžbu $4 u^4 - 4 x u^2 - y^2 = 0$. Takvu jednadžbu zovemo bikvadratnom. Nazovimo $t = u^2$. Tada za $t$ vrijedi obična kvadratna jednadžba, tj. $4 t^2 - 4 x t - y^2 = 0$. Diskriminanta joj je

$$D = (4 x)^2 - 4 \cdot 4\cdot (-y^2) = 16 x^2 + 16 y^2 = 16 |z|^2 = (4 |z|)^2.$$

Dakle, $t$ mora biti $\frac{4x\pm\sqrt{D}}{8} = (x\pm |z|)/2$, no kako je $|z|\geq x$ to bi dobili negativni $t$ za predznak minus, što je nemoguće, jer je $t = u^2$ kvadrat realnog broja $u$. Dakle, $u = \pm \sqrt{\frac{x+|z|}{2}}$ i $v = \pm\frac{y}{\sqrt{2(x+|z|)}}$. Vidimo da je u tom slučaju $v=0$ samo ako je $y = 0$.

U drugom slučaju, ako tražimo $v\neq 0$, možemo pisati $u = y/(2 v)$ i dobijemo bikvadratnu jednadžbu

$$- 4 v^4 - 4 x v^2 + y^2 = 0$$

koju svodimo na kvadratnu $- 4 s^2 - 4 x s + y^2 = 0$ za $s = v^2$. Pozitivno je rješenje $s = 4 x-4|z|/(-8) = (|z|-x)/2$ i $v = \pm\sqrt{\frac{|z|-x}{2}}$ i $u = \pm\frac{y}{\sqrt{2(|z|-x)}}$. Vidimo da je u tom slučaju $v=0$ samo ako je $y = 0$. Ukoliko su $u$ i $v$ oba različiti od nule onda su formule za oba slučaja ekvivalentne. Na primjer,

$$u = \pm\sqrt{\frac{|z|+x}{2}} = \pm\sqrt{\frac{y^2}{2(|z|-x)}} = \frac{\pm|y|}{\sqrt{2(|z|-x)}}$$

jer $(|z|-x)(|z|+x)= |z|^2 - x^2 = y^2$.

Primjer. Nađi oba kompleksna druga korijena broja $z = -3 + 4i$. Sad $(u+v i)^2 = -3 + 4 i$ daje $u^2-v^2=-3$ i $2 u v = 4$, pa supstituiravši $v = 2/u$ u prvu jednadžbu dobijemo jednadžbu $u^2 + 3 - 4/u^2 = 0$, dakle bikvadratnu jednadžbu $u^4 + 3 u^2 - 4 = 0$. Dakle, $(u^2+4)(u^2-1) = 0$, pa je jedino pozitivno rješenje za $u^2$ jednako $1$. Slijedi da je $u = 1$ i $v = 2$ ili $u = -1$ i $v=-2$. Zaista, $(1+2i)^2 = 1 + 4 i - 4 = -3+4i$ i $(-1-2i)^2 = -3+4i$.

Primjer. Nađi oba kvadratna korijena broja $z = 8-6i$. Rješenja su $3-i$ i $-3+i$.

Prikaz kompleksnih brojeva u Gaussovoj ravnini i Eulerova formula

Kompleksne brojeve često crtamo u tzv. kompleksnoj/Gaussovoj ravnini u kojoj je realni dio kompleksnog broja na $x$ osi, a imaginarni dio na $y$ osi. Tada je duljina radijus vektora od $0$ do $z$ jednaka apsolutnoj vrijednosti $r = |z| = \sqrt{x^2+y^2}$, a kut $\alpha = arg(z)$ koji radijus vektor $\vec{0 z}$ zatvara s osi $x$ (i kojeg zovemo argument kompleksnog broja $z$) ima tangens $tg(\alpha) = \frac{y}{x}$. Primijetite da ako znamo kvadrant i ako znamo tangens kuta, tada znamo i kut.

Euler je primijetio da ako pisemo $exp(i \alpha) = cos \alpha + i sin \alpha$ (ili, u drugim oznakama, $e^{i\alpha} = cos \alpha + i sin\alpha$, gdje je $e = 2,7182818\ldots$ Eulerov broj) za realne $\alpha$, tada vrijedi

$exp(i \alpha) exp (i \beta) = \exp (i (\alpha + \beta))$, tj.

$e^{i \alpha} e^{i \beta} = e^{i (\alpha + \beta)}$

što je u skladu s uobičajenim pravilom za eksponenciranje pozitivnih realnih brojeva zbrojem realnih brojeva:

$$d^{a + b} = d^a \cdot d^b$$

samo što su sad $a = i \alpha$ i $b = i\beta$ imaginarni brojevi.

Zaista, $(cos \alpha + i sin \alpha)\cdot(cos\beta + i sin\beta) = (cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin\beta) + i ( cos\alpha sin \beta + sin\alpha cos \beta) = cos(\alpha + \beta) + i sin (\alpha +\beta)$ pri čemu su korištene formule za kosinus i sinus zbroja (tzv. adicione formule za trigonometrijske funkcije $cos$ i $sin$):

$$cos \alpha \cdot cos \beta - sin \alpha \cdot sin\beta = cos(\alpha + \beta)$$

$$cos\alpha \cdot sin \beta + sin\alpha \cdot cos \beta = sin (\alpha +\beta)$$

Eulerova formula povezana je sa zapisom kompleksnog broja preko apsolutne vrijednosti i argumenta kao $z = |z| e^{i arg(z)}$.

category: zadarmat1, zadarmat3, zadarmat4