Zoran Skoda hom11lec17

Ponedjeljak 27. 2. 2012. u 18 sati. Coursepage hom11connections. Next lecture 18, previous lectures 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14; zadaci.

Glavni cilj ove lekcije je dobivanje simplicijalnih objekata od komonada, odnosno kosimplicijalnih objekata od monada. To smo napravili u velikoj općenitosti, u 2-kategorijama, koje smo uveli kao specijalni slučaj obogaćenih kategorija.

Obogaćene kategorije

Sjetimo se koncepta monoidalne kategorije $\tilde{V} = (V,\otimes,\mathbf{1},a,l,r)$ kao kategorije s nekim tenzorskim produktom $\otimes$ na morfizmima i objektima, koji čini funktor u svakoj varijabli, s jediničnim objektom $\mathbf{1}$ i svojstvom asocijativnosti do na zadane koherentne izomorfizme $a,l,r$, koji su prirodni u svakoj varijabli. Kao primjer možemo uzeti kategoriju vektorskih prostora nad poljem $k$, gdje je $\mathbf{1} = k$ jedinični objekt, a tenzorski produkt je obični tenzorski produkt vektorskih prostora.

Neka je monoidalna kategorija $\tilde{V}$ fiksirana. $\tilde{V}$-obogaćena kategorija (engl. $V$-enriched category) $C$ se sastoji od slijedećih podataka:

• klase objekata $Ob C$
• za svaka dva objekta $a,b\in Ob C$, zadan je objekt $C(a,b)\in Ob V$
• za svaka tri objekta $a,b,c\in Ob C$, zadan je morfizam kompozicije
  $$\circ = m_{a,b,c}: C(b,c)\otimes C(a,b)\to C(a,c)$$

  koji živi u $Mor V$

• za svaki objekt $a\in Ob C$ zadan je jedinični element $j_a:\mathbf{1}\to C(a,a)$ (koji je zadan izborom morfizma u $V$)

Pri tome se traži da je kompozicija asocijativna, tj. da za svaka 4 objekta $a,b,c,d\in Ob C$ dijagram

$$\array{ (C(c,d)\otimes C(b,c))\otimes C(a,b) &&\stackrel{a_{C(a,b),C(b,c),C(c,d)}}\rightarrow&& C(c,d)\otimes (C(b,c)\otimes C(a,b))\\ m_{b,c,d}\otimes Id\downarrow &&&& \downarrow Id\otimes m_{a,b,c} \\ C(b,d)\otimes C(a,b) &&&& C(c,d)\otimes C(a,c)\\ &\searrow&&\swarrow&\\ &&C(a,d)&& }$$

komutira. Traži se i da za svaka dva objekta $a,b\in Ob C$, jedinični elementi $j_a,j_b$ čine dijagram

$$\array{ \mathbf{1}\otimes C(a,b)&&&& C(a,b)\otimes 1 \\ j_b\otimes Id \downarrow &\searrow&&\swarrow&\downarrow \Id\otimes j_a \\ C(b,b)\otimes C(a,b)&\stackrel{m_{a,b,b}}\rightarrow&C(a,b)&\stackrel{m_{a,a,b}}\leftarrow & C(a,b)\otimes C(a,a) }$$

komutativnim. Pri tome su kose strelice jedinične koherencije u $\tilde{V}$.

Kad je kontekst jasan, umjesto $\tilde{V}$-obogaćena kategorija, reći ćemo jednostavno $\tilde{V}$-kategorija.

$\tilde{V}$-obogaćena kategorija $C$ je mala ako je $Ob C$ skup. Može se definirati pojam $\tilde{V}$-funktora i $\tilde{V}$-prirodne transformacije. Male $\tilde{V}$-kategorije i $\tilde{V}$-funktori čine kategoriju $\tilde{V}Cat$. Ta kategorija ima kartezijev produkt, tj. $\tilde{V}Cat$ je također monoidalna kategorija.

Primjer: (lokalno male) kategorije kao $Set$-kategorije

Neka je $Set$ kategorija skupova i preslikavanja skupova. Kartezijev produkt se može zadati kao (bi)funktor, i $Set$ postaje tenzorska kategorija s obzirom na kartezijev produkt, a kao tenzorsku jedinicu možemo odabrati bilo koji jednočlani skup, npr. $\{\emptyset\}$.

Uvjerite se da je $Set$-obogaćena kategorija isto što i kategorija u običnom smislu (tj. lokalno mala kategorija, tj. objekata može biti klasa, no morfizmi među bilo koja dva fiksna objekta čine skup).

Klasa primjera: zatvorene monoidalne kategorije

Neformalno rečeno, zatvorene monoidalne kategorije su kategorije obogaćene nad samim sobom.

Kažemo da je monoidalna kategorija $\tilde{V}=(V,\otimes,\mathbf{1})$ zatvorena ako postoji struktura $\tilde{V}$-obogaćene kategorije $\mathbf{V}$ koja ima iste objekte kao $\tilde{V}$, a za unutarnji hom $\mathcal{Hom}(a,b) := \mathbf{V}(a,b)$ je unutarnji hom u $\mathbf{V}$, tj. za svaka tri objekta postoji bijekcija

$$Hom_V(a\otimes b,c) \cong Hom_V(a,\mathcal{Hom}(b,c))$$

prirodna u $a,b,c$. Drugim riječima $\mathcal{Hom}(b,-)$ je desni adjungirani funktor funktoru $-\otimes b$. Zapravo ako u nekoj monoidalnoj kategoriji postoji takav desni adjungirani funktor za svaki $b$, tada pravilo $\mathbf{V}(a,b)=\mathcal{Hom}(a,b)$ određuje strukturu $\tilde{V}$-obogaćene kategorije. Naime svojstvo adjungiranosti, zajedno s kompozicijom za obične morfizme, omogućava kanonsku definiciju kompozicije za unutarnji hom:

…

Zadatak 8. Dokaži da postoji izomorfizam

$$\mathcal{Hom}(a\otimes b,c) \cong \mathcal{Hom}(a,\mathcal{Hom}(b,c))$$

u $V$, prirodan u sva tri argumenta (Ideja: koristi Yonedinu lemu i račun s 4 objekta)

Primjer. Kategorija kompaktno generiranih Hausdorffovih topoloških prostora je zatvorena monoidalna kategorija s obzirom na kartezijev produkt u toj kategoriji.

Stroge $n$-kategorije

$Cat$ je kategorija čiji objekti su male kategorije, a morfizmi su funktori. Kartezijev produkt kategorija se može zadati kao bifunktor. Tako $Cat$ s kartezijevim produktom postaje (koherentna nestroga) monoidalna kategorija u kojoj je tenzorska jedinica $\mathbf{1}$ kategorija s jednim objektom i jednim morfizmom. $Cat$ je zapravo zatvorena kartezijeva monoidalna kategorija, naime za fiksnu domenu i kodomenu, funktori i njihove prirodne transformacije čine kategoriju i tražena svojstva vrijede.

Stroga (ili striktna) 2-kategorija je naprosto $Cat$-obogaćena kategorija. Induktivno definiramo $n$-kategorije kao $(n-1)Cat$-obogaćene kategorije, za svako $n\geq 1$, gdje je $(n-1)Cat$ kartezijeva monoidalna kategorija malih $(n-1)$-kategorija i $0Cat = Set$.

To se da raspisati u detalje, eksplicitno, mada je za nas značajno samo $n=1,2$. Stroga $n$-kategorija sastoji se od $k$-ćelija za svaki $k =0,1,\ldots,n$. $0$-ćelije se nazivaju i objekti, a $k$-ćelije za $k\geq 1$ se također zovu i $k$-morfizmi. Za svaki $k\geq 1$ i za svaku $k$-ćeliju $\alpha$ definiramo njenu domenu $dom\alpha$i kodomenu $cod\alpha$ koje su $(k-1)$-ćelije, pri čemu se traži da je domena domene isto što i domena kodomene, te kodomena domene je kodomena kodomene:

$$dom dom = dom cod,\,\,\,\,\,cod cod = cod dom$$

Za svaku $k$-ćeliju $\alpha$, $k\lt n$, zadana je identiteta $(k+1)$-ćelija $1_\alpha$ (ili $id_\alpha$), s $dom 1_\alpha = cod 1_\alpha = \alpha$. Na dalje, za $k$-ćelije, $k\geq 1$, je definirano $k$ raznih kompozicija $\circ_k$. Krajnja, “vertikalna”, kompozicija $\alpha\circ_k\beta$ definirana je ako je $cod \beta = dom \alpha$. Općenito, $\alpha\circ_s\beta$ je definiran ako $cod^s\beta = dom^s\alpha$ i $dom(\alpha\circ_s\beta) = dom\beta$, $cod(\alpha\circ_s\beta) = cod(\alpha)$ kad god su ti izrazi definirani. Kompozicije su usaglašene s identitetama na uobičajen način.

Među tim kompozicijama se traži da vrijedi zakon zamjene (koji generalizira Godementov zakon zamjene). Kad god je jedna strana slijedećeg identiteta definirana, tada je i druga, i vrijedi identitet

$$(\beta_2\circ_r\beta_1)\circ_s(\alpha_2\circ_r\alpha_1) = (\beta_2\circ_s \alpha_2)\circ_r(\beta_1\circ_s\alpha_1)$$

Stroge 2-kategorije

To je sve malo jednostavnije za $n=2$. 2-kategorija $\mathcal{A}$ se sastoji od

• klase $Ob \mathcal{A}$ 0-ćelija ili objekata
• klase 1-ćelija
• klase 2-ćelija

Svakoj 1-ćeliji $f$ pridruženi su objekti domene $dom f$ i kodomene $cod f$, i pišemo $f:dom f\to cod f$. Svakoj 2-ćeliji $\gamma$ pridružene su 1-ćelije $dom\gamma$, i $cod \gamma$ i vrijedi $dom dom\gamma = dom cod \gamma$ te $cod dom \gamma = cod cod \gamma$. Definirana je kompozicija 1-ćelija $g\circ f$ kad god $cod f = cod g$. Vrijedi $dom(g\circ f) = dom f$ i $cod (g\circ f) = cod g$. Definirane su dvije kompozicije 2-ćelija. Prva kompozicija $\delta\star\gamma : (g_1\circ f_1)\Rightarrow (g_2\circ f_2)$ je horizontalna i definirana je za dvije ćelije $\delta : g_1\Rightarrow g_2$ i $\gamma:f_1\Rightarrow f_2$ takve da je $dom g_1 = dom dom \delta = cod cod \gamma = cod f_2$. Druga kompozicija je vertikalna, i definirana je za $\alpha:f_1\Rightarrow f_2$, $\beta:F_3\Rightarrow f_3$ kao neki $\beta\circ\alpha:f_1\Rightarrow f_3$. Obje kompozicije su strogo asocijativne. Vrijedi također Godementov zakon zamjene

$$(\beta_2\circ\beta_1)\star(\alpha_2\circ\alpha_1) = (\beta_2\star\alpha_2)\circ(\beta_1\star\alpha_1)$$

kad god su ti izrazi definirani za dva ćelije $\alpha_1,\alpha_2,\beta_1, \beta_2$. Za svaki objekt $a$ postuliramo identiteta 1-ćeliju $id_a = 1_a:a\to a$ i za svaku 1-ćeliju $f:a\to b$ postuliramo identita 2-ćeliju; za njih vrijedi da su jedinice u smislu

• $f\circ id_a = f = f\circ id_b$ za svaku 1-ćeliju $f:a\to b$
• $\beta\circ id_f = \beta = id_g \circ \beta$ za svaku 2-ćeliju $\beta:f\to g$

Po konvenciji, ako je $\gamma:g_1\to g_2$ gdje je $dom g_1 = cod f$ i $cod g_1 = dom h$, s $h\gamma g_1$ označavamo horizontalnu kompoziciju $id_h\star\beta id_f : h\circ g_1\circ f \to h\circ g_2\circ f$.

Primjeri 2-kategorija

Primjer. (suspenzije strogih monoidalnih kategorija) Neka je $V$ obična kategorija sa strogo asocijativnim bifunktorijalnim monoidalnim produktom $\otimes$ sa strogom jedinicom $\mathbf{1}$, tj. $(V,\otimes,\mathbf{1})$ je stroga monoidalna kategorija.

Adjunkcije u proizvoljnoj 2-kategoriji

Adjunkcija u 2-kategoriji $A$ sastoji se od dvije 1-ćelije $L:C\to D$ i $R:D\to C$ i dvije 2-ćelije, jedinicu $\eta : 1_C\Rightarrow R L$ i kojedinicu $\epsilon: L R\Rightarrow 1_D$ koje zadovoljavaju 2 aksioma, tzv. trokutne identitete: kompozicije

$$L \stackrel{L\eta}\Rightarrow L R L \stackrel{\epsilon R}\Rightarrow L$$

$$R\stackrel{\eta R}\Rightarrow R L R \stackrel{R\epsilon}\Rightarrow R$$

su identitete $id_L$ i $id_R$, respektivno. Ti uvjeti se obično crtaju kao trokutasti dijagrami.

Kažemo i da je 1-ćelija $L$ lijevo adjungirana 1-ćeliji $R$.

Monade i komonade

Monada $\mathbf{T} = (a,T,\mu,\eta)$ u 2-kategoriji $A$ sastoji se od endo-1-ćelije (tj. ćelije s istom domenom i kodomenom) $T: a\to a$ i dva ćelija $\mu: T\circ T\to T$ i $\eta : id_a\to T$ tako da vrijede aksiomi asocijativnosti za $\mu$ i identite za $\eta$ u odnosu na $\mu$, tj. dijagrami

komutiraju. Komonada u $A$ je monada u kategoriji $A^{op}_{op}$, tj. u 2-kategoriji u kojoj okrenemo i 1-ćelije i 2-ćelije.

Svaka adjunkcija generira i monadu i komonadu.

Simplicijalni objekti od komonada

Svaka monada $\mathbf{T}=(a\stackrel{T}\rightarrow a,\mu,\eta)$ u 2-kategoriji $A$ definira augmentirani kosimplicijalni objekt u 1-kategoriji $\mathcal{End}(a)$ čiji objekti su endo-1-ćelije $a\to a$, a morfizmi 2-ćelije među njima. Npr. u slučaju $A = Cat$ (promatrana kao 2-kategorija) dobijemo augmentirani kosimplicijalni endofunktor. Za monadu čija endo-1-ćelija je $T:a\to a$ kažemo da je monada na $a$; tako u slučaju $A = Cat$, svaka monada u $Cat$ je monada na nekoj kategoriji $a$ iz $Cat$.

Recept za kosimplicijalni objekt je potpuno formalan: dan je augmentacijom $\eta:Id\to \mathbf{T}^\bullet$ gdje je $X = \mathbf{T}^\bullet$ kosimplicijalna 1-ćelija dana s $X_n = T\circ T\circ \ldots \circ T = T^{n+1}$ i $\partial^i = \partial^i_n = T^i \eta T^{n-i}:X_{n-1} = T^n \to T^{n+1} = X_n$, $\sigma^i_n = \sigma^i = T^i \mu T^{n-i} : X_{n+1} = T^{n+2}\to T^{n+1} = X^n$. Direktno se provjeri (zadatak 10) da su zadovoljeni kosimplicijalni identiteti.

Slično svaka komonada generira augmentirani simplicijalni objekt u kategoriji endo-1-ćelija $\mathcal{End}(a)$.