Zoran Skoda funktor

Neka su $C$ i $D$ kategorije s respektivnim kompozicijama $\circ_C$ i $\circ_D$. Kao i obično s $Hom_C(c,c)=C(c,c')\subset Mor(C)$ označavamo skup homomorfizama iz $c$ u $c'$.

Funktor $F:C\to D$ je par preslikavanja $F_0:Ob(C)\to Ob(D)$ i $F_1 : Mor(C)\to Mor(D)$ takvih da je

• $F_1(Hom_C(c,c'))\subset Hom_D(F_0(c),F_0(c'))$ za svaki $c,c'$ u $Ob(C)$. Drugim riječima $F_1$ je ništa drugo nego porodica preslikavanja $F_{c,c'}= F_1|_{C(c,c')}:C(c,c')\to D(F_0(c),F_0(c'))$.

• Za svaki objekt $c\in Ob(C)$, $F_1(id_c)=id_{F_0(c)}$

• Funktorijalnost: ako je $g\circ_C f$ definiran (tj. $codom(f)=dom(g)$), tada je $F_1(g\circ_C f)=F_1(g)\circ_D F_1(f)$.

U praksi ne pišemo $F_0, F_1$, a često ni $F_{c,c'}$, nego jednostavno $F$ za sva ta preslikavanja, ako kontekst ne vodi do nedoumice. S obzirom da je $Mor(C)$ klasa, umjesto jednog preslikavanja $F_1$ klasa s uvjetom na restrikcije, neki autori inzistiraju da se govori o porodici $\{F_{c,c'}\}_{c,c'\in Ob(C)}$ preslikavanja skupova.

Vidi wikipedia:Functor, joyalscatlab:Functors, $n$lab:functor.

Primjedba o kontravarijantnosti

Sinonim za funktor koji se ranije češće upotrebljavao je kovarijantni funktor. Razlog je taj što se nekad govori i o kontravarijantnim funktorima ili kofunktorima $G:C\to D$ koji zadovoljavaju kontravarijantnu funktorijalnost $G(g\circ_C f)=G(f)\circ_D G(g)$ umjesto obične. No, ukoliko znamo koncept suprotne kategorije $C^\circ$ tada je kofunktor iz $C$ u $D$ isto što i (običan, kovarijantni) funktor iz $C^\circ\to D$. Danas radije dakle govorimo samo o funktorima i koristimo $C^\circ$ kad je to potrebno, riječ kofunktor ne rabimo, a riječ kontravarijantan stavljamo često samo da naglasimo, dakle kažemo “kontravarijantan funktor $G:C^\circ\to D$” kad mislimo funktor $C^\circ\to D$, što je isto što i kofunktor $C\to D$. Ako smo napisali $C^\circ$ nismo morali reći kontravarijantan (naravno pedantni bi rekli da je to dvostruka negacija).

Za kontravarijantni funktor $C^\circ \to Set$ kažemo i predsnop na $C$, a nekad i općenitije za funktor $C^\circ\to D$ kažemo predsnop $D$-objekata na $C$ (recimo ako je $D$ kategorija grupa, kažemo predsnop grupa na $C$).