Zoran Skoda funkcija realne varijable

Realna (= realnoznačna) funkcija realne varijable je funkcije s podskupa skupa $Dom(f)\subseteq\mathbb{R}$ realnih brojeva u podskup $Kodom(f)\subseteq\mathbb{R}$ skupa realnih brojeva.

U kolegiju Matematika 3, nakon ponavljanja skupa realnih brojeva učimo određivanje domene i kodomene za neke tipove funkcija, neka zanimljiva svojstva nekih realnih funkcija (periodičke/neperiodičke, parne, neparne i one koje nisu ni parne ni neparne, omeđene i neomeđene…), definiramo i u praksi određujemo horizontalne, vertikalne i kose asimptota realnih funkcija.

Realna funkcija $f$ je parna ako za svaki $x$ iz njene domene $-x$ je također u njenoj domeni i vrijedi $f(-x) = f(x)$.

Realna funkcija $f$ je neparna ako za svaki $x$ iz njene domene $-x$ je također u njenoj domeni i vrijedi $f(-x) = -f(x)$.

Nekonstantna funkcija $f$ definirana na cijelom skupu realnih brojeva $\mathbb{R}$ je periodička ako postoji pozitivni realni broj $T\gt 0$, kojeg zovemo periodom funkcije $f$, takav da za svaki $x\in\mathbb{R}$ vrijedi $f(x+T) = f(x)$. Ako je $T$ period funkcije $f$, onda je naravno i svaki njegov višekratnik period. Obično kad kažemo koliki je period neke periodičke funkcije mislimo na njen najmanji period. Konstantna funkcija je poseban slučaj – naravno ona nema najmanji period, ona je periodična za svaki $T\gt 0$.

Funkcija $f$ je omeđena (sinonim: ograničena) ako postoji pozitivni realni broj $M\gt 0$ takav da je vrijednost $-M\lt f(x)\lt M$ za svaki $x$.

Najvažnija klasa funkcija realnih varijabli su elementarne funkcije. Grubo govoreći elementarne funkcije su funkcije realne varijable (ili kompleksne varijable) koje se pomoću osnovnih računskih operacija (zbrajanje, množenje, dijeljenje, oduzimanje) i kompozicije funkcija mogu dobiti od polinomijalnih funkcija, eksponencijalne funkcije, logaritamske funkcije, potenciranja, trigonometrijskih funkcija i inverznih trigonometrijskih funkcija. Kako su tu uračunate potencije na $1/n$ to su $n$-to korijeni ovdje. Ako funkcija nije elementarna onda je ona transcendentna.

Primjedba: Zapravo, u elementarne funkcije se uračunavaju ne samo $n$-ti korijeni nego i funkcije koje opisuju kako nula polinoma zavisi od njegovih koeficijenata (algebarske funkcije). Taj slučaj za potpuno razumijevanje traži razmatranje funkcija kompleksne varijable i grananje tih rješenja.

Učimo skicirati graf realne funkcije (vidi pod funkcija). Poseban slučaj je graf inverzne funkcije (dobije se refleksijom od grafa of početne funkcije s obzirom na simetralu prvog i trećeg kvadranta, tj. s obzirom na pravac $x = y$).

Važna klasa elementarnih funkcija koje smo detaljnije radili su linearne i kvadratne funkcije. Uz kvadratne funkcije je važna i kvadratna jednadžba i graf kvadratne funkcije, a to je parabola, tjeme parabole. Napravili smo jako kratki osvrt na druge kvadratne krivulje (elipsa i hiperbola).

Polinomijalne funcije su jako važna klasa elementarnih funkcija koje su zadane polinomom. Nad kompleksnim brojevima tu je bitan osnovni teorem algebre.

• racionalne funkcije (funkcije koje se daju napisati kao omjer dviju polinomijalnih funkcija), definicija, graf racionalne funkcije, određivanje njene domene i , kodomene, rastav na parcijalne razlomke

• trigonometrijske funkcije, inverzne trigonometrijske funkcije

• eksponencijalna funkcija $x\mapsto a^x$ s bazom $a\in\mathbb{R}_+$ (domena cijeli skup realnih brojeva $\mathbb{R}$), poseban slučaj kad je $a = e = 2.7182818...$ (Eulerov broj, baza prirodnog logaritma). Osnovna svojstva ekponencijalne funkcije (najvažnije $a^{x+x'} = a^x \cdot a^{x'}$), graf i primjene eksponencijalne funkcije.

• $n$-ti korijen te opća potencija $x\mapsto x^a$ za neki fiksni eksponent $a\in\mathbf{R}$

• logaritam, odnosno logaritamska funkcija

Za realnoznačnu funkciju s domenom $D$ kažemo da iščezava na podskupu $N\subset D$ ako je $f(x) = 0$ na svakom $x\in N$. Drugim riječima, sve su točke od $N$ nultočke funkcije $f$.

category: zadarmat3