Zoran Skoda determinanta

Definicija i primjeri

Determinanta kvadratne $n\times n$-matrice je broj koji za $1\times 1$ matricu je sam broj koji je njen jedini član, a rekurzivno ga možemo odrediti za $n\times n$-matricu (Laplaceovim) razvojem po bilo kojem retku ili stupcu.

Laplaceov razvoj determinante po retku matrice. Neka je dakle $A = (a_{i j})$ matrica s $n$ redaka i $n$ stupaca i želimo je razviti po $k$-tom redu. Tada je vrijednost determinante

$$det A = |A| = \sum_{i=1}^n (-1)^{k +i} a_{k i} det A_{\hat{k}\hat{i}}$$

gdje je $A_{\hat{k}\hat{i}}$ ona $(n-1)\times (n-1)$ podmatrica koja se dobije od matrice $A$ tako da prekrižimo $k$-ti redak i $i$-ti stupac, tj. onaj isti redak i stupac u kojem je član $a_{k i}$.

Npr. razvojem po prvom retku, vidimo da je determinanta $2\times 2$-matrice $\left(\array{a & b\\c & d}\right)$ jednaka $a d - b c$. Razvijmo sad $3\times 3$ matricu $(a_{i j})$ razvojem po prvom retku. Dobivamo

$$\left|\array{a_{1 1} & a_{1 2} & a_{1 3}\\ a_{2 1}& a_{2 2} & a_{2,3}\\ a_{3 1}& a_{3 2} & a_{3 3} }\right| = a_{1 1} \left|\array{a_{2 2} & a_{2 3}\\ a_{3 2}& a_{3 3}}\right| - a_{1 2}\left|\array{a_{2 1} & a_{2 3}\\ a_{3 1}& a_{3 3}}\right| + a_{1 3}\left|\array{a_{2 1} & a_{2 2}\\ a_{3 1}& a_{3 3}}\right|$$

Nekad se umjesto Laplaceovog razvoja $n\times n$ matrice koristi direktna formula kao velika suma članova po svim permutacijama $n$ slova

$$det(A) = \sum_{\sigma:\{1,2,\ldots,n\}\to \{1,2,\ldots,n\},\,\,\,permutacija} a^1_{\sigma(1)} a^2_{\sigma(2)}\cdots a^n_{\sigma(n)}$$

gdje je $\epsilon(\sigma)$ paritet permutacije $\sigma$, tj.+1 ako permutacija ima paran broj inverzija i -1 ako ima neparan broj inverzija.

U primjeru 3x3 matrice, imamo 3!=6 permutacija (123),(132),(213),(231),(312) i (321), koje imaju redom 0,1,1,2,2 i 3 inverzije, dakle redom s paritetima +,-,-,+,+,-, pa je determinanta

$$det(A) = a^1_1 a^2_2 a^3_3 - a^1_1 a^2_3 a^3_2 - a^1_2 a^2_1 a^3_3 + a^1_2 a^2_3 a^3_1 + a^1_3 a^2_1 a^3_2 - a^1_3 a^2_2 a^3_1$$

Svojstva determinante

Sjetimo da je glavna dijagonala matrice $n\times n$ dijagonala koja ide iz gornjeg lijevog u donji desni ugao matrice. Matrični elementi na glavnoj dijagonali su $a_{11}, a_{22},\ldots, a_{nn}$.

Determinanta ima neka dobra svojstva koja pojednostavljuju računanje. Zapravo, determinanta je jedina funkcija koja svakoj kvadratnoj matrici pridružuje broj, a koja zadovoljava ta svojstva:

• Ako su svi članovi van glavne dijagonale nula, tada je determinanta umnožak elemenata na glavnoj dijagonali $\prod_{i=1}^n a_{ii}$.

• Ako zamijenimo dva retka matrice tada se determinanti samo promijeni predznak.

• Ako zamijenimo dva stupca matrice tada se determinanti samo promijeni predznak.

• Ako jednom retku dodamo višekratnik nekog drugog retka determinanta se ne mijenja.

• Ako jednom stupcu dodamo višekratnik drugog stupca determinanta se ne mijenja.

Stupci matrice su linearno nezavisni kao vektor-stupci ako i samo ako je matrica regularna, odnosno ako joj je determinanta nula.

Reci matrice su linearno nezavisni kao vektor-reci ako i samo ako je matrica regularna, odnosno ako joj je determinanta nula.

Ako jedan redak ili stupac matrica pomnožimo brojem onda se i njena determinanta pomnoži tim brojem.

Primjer.

$$\left|\array{ 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9}\right| = \left|\array{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 3 & 3\\ 7 & 8 & 9}\right| = \left|\array{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 3 & 3\\ 6 & 6 & 6}\right| = 0.$$

Prva jednakost se dobija oduzimanjem prvog reda od drugog. Druga jednakost se dobija oduzimanjem prvog reda od trećeg. Kako su redovi (3,3,3) i (6,6,6) proporcionalni, dakle zavisni, slijedi treća jednakost – determinanta iščezava.

Determinanta umnoška kvadratnih matrica je umnožak njihovih determinanti

$$det(A B) = det(A) det(B)$$

Inverzna matrica i regularnost

Za kvadratnu matricu $A$ kažemo da je regularna ako ima obostrani inverz $A^{-1}$ s obzirom na množenje. Dakle, $A^{-1} A = I = A A^{-1}$ gdje je $I$ jedinična matrica. Matrica je regularna ako i samo ako je njena determinanta različita od nule. To je očito i iz gornje formule determinante umnoška. Zaista,

$$1 = det(I) = det(A A^{-1}) = det(A) det(A^{-1}),$$

dakle oba elementa slijeva su različita od nule i $det(A^{-1}) = (det(A))^{-1}$.

Cramerovo pravilo.

Promatrajmo sustav od $n$ linearnih jednadžbi koji možemo napisati kao jednu vektorsku jednadžbu oblika $A \vec{r} = \vec{b}$ gdje je $A$ kvadratna matrica, a $\vec{r}$ vektor stupac nepoznanica i $\vec{b}$ vektor stupac brojeva. Formirajmo matrice $A_i$ tako da $i$-ti stupac u $A$ zamijenimo s $\vec{b}$. Tada izvorni sustav ima jedinstveno rješenje akko je matrica $A$ regularna, tj. $det A\neq 0$ i tada je rješenje sustava dano Cramerovim pravilom

$$r_i = \frac{det A_i}{det A},\,\,\,\,\,\,\,i = 1,\ldots,n.$$

Primjer. Sustav

$$\array{ 3 x + 4 y = 11\\ 2 x + 3 y = 17 }$$

Možemo napisati kao

$$\left(\array{ 3 & 4\\ 2 & 3 }\right) \left(\array{x \\ y}\right) = \left(\array{ 11 \\ 17} \right)$$

Tada je $det A = 3\cdot 3- 4\cdot 2 = 1$. Tada nam je mnemotehnički lakše pisati $A_x, A_y$ umjesto $A_1,A_2$ i vrijedi

$$A_x = \left(\array{ 11 & 4\\ 17 & 3 }\right),\,\,\,\,\,\,\,A_y = \left(\array{ 3 & 11\\ 2 & 17 }\right),$$

pa je $det A_y = 3\cdot 17 - 11\cdot 2 = 51 - 22 = 29$ i $det A_x = 11\cdot 3 - 4\cdot 17 = 33 - 68 = -35$. To su ujedno i vrijednosti $x$ i $y$ jer je determinanta od $A$ upravo jednaka $1$, naime $y = det A_y/det A = 29/1 = 29$ i $x = det A_x/det A = -35/1 = -35$. Provjerimo da je rješenje dobro uvrštavanjem u početni sustav, $3\cdot(-35)+3\cdot 29 = -105+116 = 11$ i $2\cdot(-35)+3\cdot 29 = -70+87=17$.

Primjer.

$$\array{ 3 x + 2 y = 7\\ 2 x - 5 y = 8 }$$

Neka je $B$ matrica sustava. Tada je $det\,B = -19$, $det\,B_x = -51$, $det\,B_y = 10$ dakle $x = 51/19$ i $y = -10/19$, što se lako provjeri uvrštavanjem u početni sustav.

Vektorski i mješoviti umnožak vektora

Ako su $\vec{a} = a_x\vec{i}+a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$, $\vec{b} = b_x\vec{i}+b_y\vec{j}+b_z\vec{k}$ i $\vec{c}=c_x\vec{i}+c_y\vec{j}+c_z\vec{k}$ vektori u 3d prostoru, tada je vektorski umnožak

$$\vec{a}\times\vec{b} = \left| \array{\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z}\right| = \left| \array{a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} }\right|,$$

a mješoviti umnožak

$$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} = \left| \array{c_x&c_y&c_z\\a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z}\right| = \left| \array{a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z }\right|$$

Ciklička zamjena ne mijenja determinantu matrice $3\times 3$ pa stoga ne mijenja ni umnožak

$$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} = (\vec{c}\times\vec{a})\cdot\vec{b} = (\vec{b}\times\vec{c})\cdot\vec{a}$$

ali je $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} = -(\vec{b}\times\vec{a})\cdot\vec{c}$ jer sam vektorski umnožak mijenja predznak ako zamijenimo faktore. Dakle, zamjena faktora mora biti ciklička, a ne proizvoljna. S druge strane, $\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b}) = (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}$ jer je skalarni umnožak komutativan.

category: zadarmat3, zadarmat4