Zoran Skoda cijeli broj

Prirodni brojevi, nula i negativne kopije prirodnih

Skup cijelih brojeva $\mathbb{Z}$ po definiciji ima kao elemente sve prirodne brojeve (koje zovemo pozitivnim cijelim brojevima), poseban element koji zovemo $0$ (nula) i negativne kopije prirodnih brojeva, tj. simbole oblika $-n$ gdje je $n$ prirodni broj. Dakle $\mathbb{Z} = \mathbb{N} \cup \{0\} \cup -\mathbb{N}$ gdje je $-\mathbb{N} = \{ -1, -2, -3,\ldots\}$. Takvo označavanje dakle dolazi s bijekcijom prirodnih brojeva na njihove negativne kopije i obratno. Pozitivna kopija bilo negativnog bilo pozitivnog broja zove se njegova apsolutna vrijednost i označava s $|k|$, a apsolutna vrijednost nule je nula. Dakle uzimanje apsolutne vrijednost je funkcija $|\,\,|:\mathbb{Z}\to\mathbb{N}$. Ako je broj pozitivan kažemo da je njegov predznak $+$ (plus) ili pozitivan, a ako je broj negativan kažemo da je njegov predznak $-$ (minus) ili negativan. Za nulu predznak nije definiran. Apsolutnu vrijednost negativnog broja ponekad zovemo njegovom suprotnom/negativnom vrijednošću (ili je zovemo suprotni element od negativnog broja), tj. kažemo da je negativna vrijednost negativnog broja pozitivan broj, pišemo i $-(-n) = n$ za $n\in \mathbb{N}$.

Potreba za cijelim brojevima je višestruka. Osnovni problem s prirodnim brojevima je što ne možemo oduzeti svaka dva prirodna broja, naime možemo jedino oduzeti manji broj od većeg. Tu je i intuicija negativnog broja kao duga, kao nečeg što moramo u konačnosti oduzeti od onoga što imamo, a taj dug može biti i veći od onog što imamo, pa u konačnici ostajemo u dugu. Dodavanje duga u razmatranje je kao oduzimanje iste vrijednosti u njenoj apsolutnoj količini. Dodavanjem nule u promatranje možemo oduzeti i dva jednaka cijela broja, $a - a = 0$ ali još uvijek ne možemo oduzimati veći prirodni broj od manjeg.

Dakle, prirodne brojeve zovemo pozitivnim cijelim brojevima, a pripadne negativne simbole negativnim cijelim brojevima. Tada uvodimo zbrajanje po slučajevima: pozitivne brojeve zbrajamo kao prirodne, zbroj negativnih brojeva je negativan broj čija apsolutna vrijednost je zbroj apsolutnih vrijednosti pribrojnika, zbroj negativnog i pozitivnog broja je razlika njihovih apsolutnih vrijednosti (ako su različite, od veće apsolutne vrijednosti oduzeti manju kao prirodne brojeve) a koja, u slučaju da nije $0$, dolazi s predznakom onog pribrojnika čija je apsolutna vrijednost veća. Konačno svaki broj zbrojen s nulom je taj isti broj. U svim tim definicijama redoslijed pribrojnika nije važan. U skupu cijelih brojeva razlika uvijek postoji, tj. jednadžba $x + a = b$ uvijek ima (jedinstveno) rješenje i to je rješenje $x = b + (-a)$. To rješenje je po definiciji razlika $b - a\in\mathbb{Z}$.

Cijele brojeve množimo tako da pomnožimo pripadne apsolutne vrijednosti, a predznak (ukoliko rezultat nije nula) određujemo ovako: umnožak dvaju brojeva istog predznaka je pozitivan broj, a umnožak dvaju brojeva različitih predznaka je negativan broj.

Skup cijelih brojeva je Abelova grupa s obzirom na zbrajanje (tj. zbrajanje je komutativno, asocijativno, s neutralnim elemenom $0$ i svaki element ima suprotni element). Množenje je komutativno, asocijativno i ima neutralni element $1$. Množenje je distributivno u odnosu na zbrajanje zdesna i slijeva. Drugim riječima, skup cijelih brojeva zajedno s operacijama $\cdot, +$ je komutativni prsten.

Na skupu cijelih brojeva uvodi se i linearni uređaj koji proširuje uređaj na skupu svih prirodnih brojeva, po kojem je $0$ veća od svakog negativnog i manja od svakog pozitivnog prirodnog broja, po kojem je svaki pozitivan broj veći od svakog negativnog broja i za negativne brojeve vrijedi $m\lt n$ akko $-m\gt -n$.

Alternativni pristup cijelim brojevima kao klasama formalnih razlika $a-b$

Skup cijelih brojeva je gore uveden na način koji zovemo simetrizacija. Postoji i druga konstrukcija (“Grothendieckova konstrukcija”) u kojoj promatramo cijele brojeve kao razrede ekvivalencije formalnih razlika $m-n$ prirodnih brojeva ili nule modulo relacija ekvivalencije prema kojoj $m-n = m'-n'$ akko $m+n' = m'+n$. Tada definiramo zbrajanje formalnih razlika formulom $(m-n) + (a-b) = (m+a) - (n+b)$ i množenje formalnih razlika formulom $(a-b)\cdot (c-d) = (a c + bd) - (a d + bc)$. Neutralni element za zbrajanje je razred čiji su predstavnici formalne sume oblika $m-m$ gdje je $m\in\mathbb{N}_0$. Suprotni element od cijelog broja predstavljenog formalnom razlikom $a-b$ je cijeli broj predstavljen formalnom razlikom $b-a$. Na cijelim brojevima se tada definira uređaj pravilom da je $m-n\gt 0$ akko $m\gt n$ i općenitije $a-b\lt c-d$ akko $(a-b)- (c-d) = (a+d) - (b+c)\lt 0$.

category: zadarmat1, zadarmat4