Zoran Skoda adicijski teoremi

Promatrajmo ravninu s Kartezijevim koordinatnim sustavom OijO\vec{i}\vec{j}. Koordinate (x T,y T)(x_T,y_T) točke TT su ujedno komponente radijusvektora OT=x Ti+y Tj\vec{O T} = x_T \vec{i} + y_T \vec{j}. Rotacija je svaka izometrija ravnine koja čuva točno jednu točku SS, središte rotacije, ili je identiteta. Svaka rotacija oko središta SS može se prikazati kao kompozicija dviju osnih simetrija oko osi koje se sijeku u središtu rotacije. Sama rotacija zavisi samo od središta i orijentirane mjere kuta među osima prve i druge osne simetrije. Svaka rotacija oko središta SS ima svojstvo da šalje svaki polupravac s vrhom u SS u neki drugi polupravac s vrhom u SS, i uređeni kut koji čine ta dva polupravca, izvor i slika, ima istu mjeru i orijentaciju bez obzira koji polupravac uzeli kao izvorni. Tu orijentiranu mjeru kuta zovemo kut rotacije. Očito slijedi da je kompozicija rotacije za kut α\alpha s rotacijom za kut β\beta jednak rotaciji za α+β\alpha+\beta (pri tome, naravno, koristimo geometrijsku definiciju zbrajanja kuteva). Kut rotacije je dvostruk orijentiranoj mjeri kuta među (ma kojim) dvjema osima s obzirom na koje rotaciju ostvarujemo kao kompoziciju dviju osnih simetrija.

Rotacija za kut α\alpha u pozitivnom smislu oko točke OO je izometrija pa čuva kuteve i duljine. Dakle šalje i svaki paralelogram u sukladni paralelogram, pa prema pravilu paralelograma šalje zbroj vektora u zbroj rotiranih vektora (oko iste točke, za isti kut). Drugim riječima, rotacija oko točke OO je linearan operator na prostoru vektora iz točke OO. Lako je vidjeti geometrijski da rotacija od i\vec{i} daje vektor cos(α)i+sin(α)jcos(\alpha)\vec{i} + sin(\alpha)\vec{j}, a rotacija od j\vec{j} daje vektor sin(α)i+cos(α)j-sin(\alpha)\vec{i} + cos(\alpha)\vec{j}. Dakle, v=v xi+v yj\vec{v} = v_x\vec{i} + v_y \vec{j} po linearnosti šalje u

v = v xi+v yj = (v xcos(α)v ysin(α))i+(v xsin(α)+v ycos(α))j.\array{ \vec{v}' &=& v_x'\vec{i} + v_y'\vec{j} \\ &=& (v_x cos(\alpha) - v_y sin(\alpha))\vec{i} + (v_x sin(\alpha) + v_y cos(\alpha))\vec{j}. }

Taj rotirani vektor ako rotiramo dalje za β\beta moramo dobiti isti taj izraz ali α\alpha je zamijenjen za α+β\alpha+\beta. S druge strane, rotacija za β\beta vektora v\vec{v}' daje

v=(v xcos(β)v ysin(β))i+(v xsin(β)+v ycos(β))j\vec{v}'' = (v_x' cos(\beta) - v_y' sin(\beta))\vec{i} + (v_x' sin(\beta) + v_y' cos(\beta))\vec{j}
v x=v x(cos(α)cos(β)sin(α)sin(β))v y(sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)) v_x'' = v_x (cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)) - v_y(sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta))
v y=v x(sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β))+v y(cos(α)cos(β)sin(α)sin(β)) v_y'' = v_x(sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)) + v_y''(cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta))

Uspoređivanjem proizlaze takozvane adicijske formule za sinus i kosinus

cos(α+β)=cos(α)cos(β)sin(α)sin(β) cos(\alpha+\beta) = cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)
sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β) sin(\alpha+\beta) = sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)

Nije teško napisati i adicijske formule za razliku koristeći činjenicu da je kosinus parna funkcija (cos(β)=cos(β)cos(-\beta) = -cos(\beta)), a sinus kotangense neparna funkcija, sin(β)=sin(β)sin(-\beta) = - sin(\beta). Dakle,

cos(αβ)=cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β) cos(\alpha-\beta) = cos(\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)
sin(αβ)=sin(α)cos(β)cos(α)sin(β) sin(\alpha-\beta) = sin(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sin(\beta)

Dijeljenjem izraza dobivamo

tg(α±β)=sin(α)cos(β)±cos(α)sin(β)cos(α)cos(β)sin(α)sin(β) tg(\alpha\pm\beta) = \frac{sin(\alpha)cos(\beta)\pm cos(\alpha)sin(\beta)}{cos(\alpha)cos(\beta)\mp sin(\alpha)sin(\beta)}

Ako brojnik i nazivnik podijelimo s cos(α)cos(β)cos(\alpha)cos(\beta) dobivamo adicijski teorem za tangens

tg(α±β)=tg(α)±tg(β)1tg(α)tg(β) tg(\alpha\pm\beta) = \frac{tg(\alpha)\pm tg(\beta)}{1\mp tg(\alpha)tg(\beta)}

i slično izvedemo adicijsku formulu za kotangens

ctg(α±β)=ctg(α)ctg(β)1ctg(β)±ctg(α). ctg(\alpha\pm\beta) = \frac{ctg(\alpha)ctg(\beta)\mp 1}{ctg(\beta)\pm ctg(\alpha)}.

I tu vidimo da se formule za (ko)tangens razlike mogu dobiti od formula za (ko)tangens zbroja koristeći da su tangens i kontangens neparne funkcije.

Sjetimo se da je naklon kk pravca pp u odnosu na os xx („koeficijent smjera pravca”) tangens kuta α\alpha među osi xx i tim pravcom, tj. kut za koji moramo zarotirati os xx oko točke presjeka s osi xx da bi dobili zadani pravac. Ako promatramo pravac qq koji je okomit na os pp, njegov koeficijent smjera je dobiven dodatnom rotacijom za ±π/2\pm \pi/2, a kotangens od ±π/2\pm\pi/2 je 00. Iz adicione formule za kotangens slijedi da je njegov naklon u odnosu na os xx (koeficijent smjera)

k=tg(α±π/2)=1ctg(α±π/2)=ctg(±π/2)+ctg(α)ctg(α)ctg(±π/2)1=ctg(α)1=1tg(α)=1k. k' = tg(\alpha\pm\pi/2) = \frac{1}{ctg(\alpha\pm\pi/2)} = \frac{ctg(\pm\pi/2)+ctg(\alpha)}{ctg(\alpha)ctg(\pm\pi/2) -1} = \frac{ctg(\alpha)}{-1} = -\frac{1}{tg(\alpha)} = -\frac{1}{k}.

Last revised on May 14, 2021 at 22:06:49. See the history of this page for a list of all contributions to it.