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Toposes, Triples, and Theories
This page hosts material related to the textbook
on toposes, monads (“triples”), and universal algebra, categorical algebra and categorical semantics via sketches.
See also the following, which was a review of the first edition of the book. Some, but not all, of the issues were addressed in the second edition:
Contents
Preface
1. Categories
1 Definition of category … … … … … … … … . 1
2 Functors … … … … … … … … … ……10
4 Elements and Subob jects … … … … … … … . . 17
5 The Yoneda Lemma … … … … … … … … . . 22
6 Pullbacks … … … … … … … … … … . . 25
7 Limits … … … … … … … … … … … . 30
8 Colimits … … … … … … … … … … … 40
9 Adjoint functors … … … … … … … … … . 46
10 Filtered colimits … … … … … … … … … . 57
11 Notes to Chapter I … … … … … … … … … 60
2. Toposes 62
1 Basic Ideas about Toposes … … … … … … … . 62
2 Sheaves on a Space … … … … … … … … … 65
3 Properties of Toposes … … … … … … … … . 72
4 The Beck Conditions … … … … … … … … . 77
5 Notes to Chapter 2 … … … … … … … … . . 80
3. Triples 82
1 Definition and Examples … … … … … … … . . 82
2 The Kleisli and Eilenberg-Moore Categories … … … … 87
3 Tripleability … … … … … … … … … … . 92
4 Properties of Tripleable Functors … … … … … … 103
5 Sufficient Conditions for Tripleability … … … … … . 108
6 Morphisms of Triples … … … … … … … … . 110
7 Adjoint Triples … … … … … … … … … . . 114
8 Historical Notes on Triples … … … … … … … . 120
4. Theories 122
1 Sketches … … … … … … … … … … … 123
2 The Ehresmann-Kennison Theorem … … … … … . . 127
3 Finite-Product Theories … … … … … … … … 129
4 Left Exact Theories … … … … … … … … . . 135
5 Notes on Theories … … … … … … … … … 144
5. Properties of Toposes 147
1 Tripleability of P … … … … … … … … … . 147
2 Slices of Toposes … … … … … … … … … . 149
3 Logical Functors … … … … … … … … … . 151
4 Toposes are Cartesian Closed … … … … … … . . 156
5 Exactness Properties of Toposes … … … … … … . 158
6 The Heyting Algebra Structure on Ω … … … … … . 165
6. Permanence Properties of Toposes 169
1 Topologies … … … … … … … … … … . . 169
2 Sheaves for a Topology … … … … … … … … 174
4 Left exact cotriples … … … … … … … … … 181
5 Left exact triples … … … … … … … … … . 184
6 Categories in a Topos … … … … … … … … . 188
7 Grothendieck Topologies … … … … … … … . . 194
8 Giraud’s Theorem … … … … … … … … … 198
7. Representation Theorems 206
1 Freyd’s Representation Theorems … … … … … … 206
2 The Axiom of Choice … … … … … … … … . 210
3 Morphisms of Sites … … … … … … … … … 214
4 Deligne’s Theorem … … … … … … … … … 220
5 Natural Number Objects … … … … … … … . . 221
6 Countable Toposes and Separable Toposes … … … … . 229
7 Barr’s Theorem … … … … … … … … … . . 234
8 Notes to Chapter 7 … … … … … … … … . . 236
8. Cocone Theories 238
1 Regular Theories … … … … … … … … … . 238
2 Finite Sum Theories … … … … … … … … . . 241
3 Geometric Theories … … … … … … … … . . 242
4 Properties of Model Categories … … … … … … . 244
9. More on Triples 250
1 Duskin’s Tripleability Theorem … … … … … … . 250
2 Distributive Laws … … … … … … … … … 257
3 Colimits of Triple Algebras … … … … … … … . 262
4 Free Triples … … … … … … … … … … . 267
Bibliography 273
Index of exercises 278
Index
Last revised on November 15, 2023 at 16:24:49.
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